Elabore, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo decisório que, dado s>0 e um inteiro n=3…

Questão

Elabore, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo decisório que, dado s>0 e um inteiro n=3, escolha entre executar a construção de um polígono regular de n lados por régua e compasso ou por software, e em seguida realize a construção. O algoritmo deve indicar como verificar a construtibilidade com régua e compasso, como obter o raio R, quais operações geométricas elementares usar (bisseção, interseção de arcos, translação de segmentos) e como gerar o fluxograma de execução.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Resposta-modelo (sugestão de texto e fluxograma): 1) Entrada: s>0, inteiro n=3. 2) Verificar construtibilidade: fatorar n = 2^k·m, com m ímpar. Se todos os fatores primos de m são primos de Fermat distintos (3,5,17,257,65537) então construtível por régua e compasso; caso contrário não é construtível exato. 3) Calcular ângulo central ? = 2p/n e o raio desejado R = s/(2 sin(p/n)). (Derivação: corda de ângulo 2p/n tem comprimento s.) 4) Fluxo decisório: - Se construtível: seguir bloco "Régua e Compasso"; senão: seguir bloco "Software/Número". 5) Bloco "Régua e Compasso": a) Construir segmento de comprimento R (usar operações de soma, subtração, produto por 2 e extração de raízes quadradas por bisseção geométrica e semelhança). Ex.: construir compasso para transladar e comparar segmentos; obter v-expressões por construção de retângulos e círculos; em muitos casos pode-se obter R por expressões com raízes aninhadas (construíveis). b) Desenhar circunferência de centro O e raio R; marcar ponto A na circunferência. c) Gerar ângulo inicial conhecido (ex.: 60° ou 72°) via construções clássicas (triângulo equilátero, pentágono quando aplicável). Usar soma/subtração de ângulos e bisseções sucessivas para obter ? = 360°/n quando possível; operações permitidas: perpendicular, mediatriz, bisseção de ângulo, interseção de arcos. d) Repetir rotação por ? ao redor de O para obter n vértices e ligar consecutivamente. 6) Bloco "Software/Número": a) Desenhar circunferência de raio R. b) Computar posições dos vértices Vi: ângulo inicial a0 arbitrário; Vi = O + R·(cos(a0 + i?), sin(a0 + i?)), i=0..n-1. c) Plotar e unir os vértices; se necessário, ajustar numericamente para obter lado s. 7) Saída: polígono construído; registrar se construção exata (régua/compasso) ou aproximada (software). Observações e justificativas técnicas: - A verificação de primos de Fermat garante a possibilidade de obter os ângulos por construções elementares combinadas com bisseções (teorema de Gauss sobre polígonos construtíveis). - Em prática com régua e compasso, obter R a partir de s pode exigir construções para raízes quadradas aninhadas; detalhar essas construções para cada n específico. - Fluxograma: (Início)?(Entrada s,n)?(Testar construtibilidade)?[Sim]?(Calcular R)?(Régua/Compasso: construir R; obter ? por construções e bisseções; marcar vértices; unir)?(Fim) ; [Não]?(Calcular R numericamente)?(Software: marcar vértices a cada ?)?(Fim). Critérios de avaliação (sugestão): clareza e completude do algoritmo, indicação correta do teste de construtibilidade, correção das expressões R = s/(2 sin(p/n)), identificação das operações geométricas necessárias, fluxograma legível com decisões e iterações bem definidas.

Explicação

A explicação detalha os passos necessários para determinar a construtibilidade de um polígono regular e fornece um método claro para sua construção, seja por régua e compasso ou software. A verificação dos fatores primos de Fermat é essencial para garantir que o polígono pode ser construído com as ferramentas clássicas, enquanto o cálculo do raio e a descrição das operações geométricas são fundamentais para a execução precisa da construção. O fluxograma ilustra o processo decisório de forma visual, facilitando a compreensão das etapas envolvidas.

Raio-X da questão

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