(Dissertativa) Seja a sequência (a_n) definida por a_1 = 7 e, para n=1, a_{n+1} = v(a_n² + 24²). Prove por…

Questão

(Dissertativa) Seja a sequência (a_n) definida por a_1 = 7 e, para n=1, a_{n+1} = v(a_n² + 24²). Prove por indução que a_n² = 49 + 576(n-1) para todo n?N e escreva a_n em forma fechada.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Base n=1: a_1²=49=49+576·0. Hipótese: suponha a_k²=49+576(k-1). Então a_{k+1}² = a_k²+24² = [49+576(k-1)]+576 = 49+576k, logo válida para k+1. Assim por indução a_n²=49+576(n-1) e a_n=v(49+576(n-1)).

Explicação

A prova por indução começa verificando a base do caso, onde a fórmula se mantém verdadeira para n=1. Em seguida, assume-se que a fórmula é válida para um n genérico k e demonstra-se que ela também se aplica para k+1, confirmando a validade da relação para todos os números naturais. Por fim, a expressão para a_n é obtida ao aplicar a fórmula encontrada, resultando em uma forma fechada que expressa a sequência desejada.

Raio-X da questão

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