No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A(0,0), B(15,0) e C(5,12). Seja a reta r, paralela a BC…

Questão

No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A(0,0), B(15,0) e C(5,12). Seja a reta r, paralela a BC, que intercepta AB em D e AC em E. Se AD = 5, determine as coordenadas de D e E e verifique, por relações de proporcionalidade, a posição de E sobre AC.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Primeiro, como AB está sobre o eixo x entre x=0 e x=15, o ponto D com AD=5 é D(5,0). O vetor BC = C-B = (5-15,12-0) = (-10,12); portanto retas paralelas a BC têm direção (-10,12). Parametrize a reta r por D + s(-10,12) = (5-10s,12s). Parametrize o segmento AC por A + t(C-A) = (5t,12t), 0=t=1. Intersecção rnAC ocorre quando (5-10s,12s)=(5t,12t). Da segunda coordenada obtemos 12s=12t ? s=t. Substituindo na primeira coordenada: 5-10t=5t ? 5=15t ? t=1/3. Logo E = (5t,12t) = (5/3,4). Assim D=(5,0) e E=(5/3,4). Verificação por proporcionalidade: AD/AB = 5/15 = 1/3 = AE/AC, pois AE = t·AC = (1/3)·AC, confirmando que a reta paralela a BC divide os lados em segmentos proporcionais. (Se desejar, comprimento DE = v((5-5/3)²+(0-4)²)=v(100/9+16)= (2v61)/3.)

Explicação

A solução apresenta o cálculo das coordenadas dos pontos D e E utilizando a parametrização das retas e a interseção entre elas, garantindo que a relação de proporcionalidade entre os segmentos AD e AE esteja correta. A verificação da proporcionalidade confirma que a reta paralela a BC divide os lados do triângulo em segmentos proporcionais, o que é uma propriedade fundamental em geometria. Assim, a resposta demonstra não apenas a localização dos pontos, mas também a consistência das relações geométricas envolvidas.

Raio-X da questão

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