No plano cartesiano, considere o triângulo A(0,0), B(12,0) e C(4,9). Uma reta t paralela a AB intercepta AC em…

Questão

No plano cartesiano, considere o triângulo A(0,0), B(12,0) e C(4,9). Uma reta t paralela a AB intercepta AC em D e BC em E, sabendo que AD = (1/3)·AC. Determine: a) coordenadas de D e E; b) comprimento de DE; c) distância entre os pontos médios de AB e DE. Justifique usando semelhança e teorema de Pitágoras.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) AC = (4,9). Como AD = (1/3)AC, D = A + (1/3)(4,9) = (4/3,3). Reta BC: B + t(C-B) = (12-8t,9t). Para y=3 ? 9t=3 ? t=1/3 ? E=(12-8/3,3)=(28/3,3). b) DE = x_E-x_D = 28/3 - 4/3 = 8. c) Ponto médio de AB = ((0+12)/2,(0+0)/2)=(6,0). Ponto médio de DE = ((4/3+28/3)/2,3)=(16/3,3). Distância = v[(6-16/3)²+(0-3)²] = v[(2/3)²+9] = v85 / 3.

Explicação

A determinação das coordenadas de D e E utiliza a relação de semelhança entre os triângulos formados, permitindo calcular as posições dos pontos de interseção. O comprimento de DE é encontrado pela diferença das coordenadas x de E e D, enquanto a distância entre os pontos médios é calculada usando o teorema de Pitágoras, que relaciona as diferenças das coordenadas. Essa abordagem garante que todos os passos respeitem as propriedades geométricas do triângulo e das retas envolvidas.

Raio-X da questão

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