No plano cartesiano, considere os pontos P(3,4), Q(3,-2) e R(11,-2). Verifique que ?PQR é reto, identifique a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, considere os pontos P(3,4), Q(3,-2) e R(11,-2). Verifique que ?PQR é reto, identifique a hipotenusa do triângulo PQR e calcule seu comprimento.
- A) Hipotenusa PR = 12
- B) PQ = 10 e QR = 6
- C) ?PQR não é reto
- D) Hipotenusa PR = 8
- E) Hipotenusa PR = 10
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Calcule o comprimento de PQ. P(3,4) e Q(3,-2) têm a mesma abscissa, então o segmento PQ é vertical e mede |4 - (-2)| = 6. Passo 2: Calcule QR. Q(3,-2) e R(11,-2) têm a mesma ordenada, então QR é horizontal e mede |11 - 3| = 8. Passo 3: Como PQ é vertical e QR é horizontal, eles são perpendiculares, logo o ângulo em Q é reto (90 graus). Assim, o triângulo PQR é retângulo em Q, com catetos PQ = 6 e QR = 8. Passo 4: A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, ou seja, o segmento PR. Passo 5: Confirme pelo teorema de Pitágoras, usando a distância entre P(3,4) e R(11,-2): PR = raiz de ((11-3)^2 + (-2-4)^2) = raiz de (64 + 36) = raiz de 100 = 10. Verificação: 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2. Passo 6: Conclusão: a hipotenusa é PR e mede 10, o que corresponde à alternativa E, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A) PR não é 12, pois a soma 64 + 36 é 100 e a raiz quadrada de 100 é 10. B) PQ é 6 e QR é 8, não 10 e 6. C) O triângulo é reto em Q, pois os catetos são perpendiculares. D) 8 é o comprimento do cateto QR, não da hipotenusa PR.
💡 Dica: Identifique os catetos pelas diferenças nas coordenadas e aplique o teorema de Pitágoras.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou no cálculo da distância PR, por exemplo somando errado 64 + 36 ou extraindo mal a raiz quadrada de 100, obtendo 12 em vez de 10.
O aluno calculou mal as medidas dos catetos, trocando as diferenças entre coordenadas (PQ deveria ser 6 e QR deveria ser 8) e tomando valores que não correspondem aos segmentos.
Por que engana: O aluno pode confundir os comprimentos dos catetos com o da hipotenusa ou calcular a distância entre P e R somando diretamente as diferenças das coordenadas.
O aluno não reconhece que um segmento vertical e um horizontal são sempre perpendiculares e não verifica a condição de Pitágoras, julgando o triângulo não reto apenas pela aparência.
O aluno confunde a hipotenusa com um dos catetos, tomando QR = 8 como se fosse o lado oposto ao ângulo reto, em vez de calcular a distância PR.
PQ = |4-(-2)| = 6 e QR = |11-3| = 8; como PQ ? QR (vetores (0,6)·(8,0)=0), PR = v(6²+8²)=v100=10.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras no plano cartesiano
avaliacao
Diferença entre coordenadas cartesianas · Teorema de Pitágoras
Revise distância entre pontos, identificação dos catetos e hipotenusa e aplicação do teorema de Pitágoras.
O aluno pode confundir os comprimentos dos catetos com o da hipotenusa ou calcular a distância entre P e R somando diretamente as diferenças das coordenadas.
tomada_decisao
abstrato
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