No triângulo retângulo ABC (ângulo reto em C) sabe-se que AC:AB = 3:5 e que BC = 12. Determine o comprimento…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC (ângulo reto em C) sabe-se que AC:AB = 3:5 e que BC = 12. Determine o comprimento da hipotenusa AB.
- A) AB = 13
- B) AB = 20
- C) AB = 9
- D) AB = 15
- E) AB = 12
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Como o ângulo reto está em C, a hipotenusa é AB, oposta ao ângulo reto, e vale mais que cada cateto. Passo 2: A razão AC:AB = 3:5 permite escrever AC = 3k e AB = 5k, para algum k positivo. Passo 3: Pelo teorema de Pitágoras, AB^2 = AC^2 + BC^2, logo BC^2 = AB^2 - AC^2 = 25k^2 - 9k^2 = 16k^2, e portanto BC = 4k. Passo 4: Como BC = 12, temos 4k = 12, logo k = 3. Passo 5: Então AB = 5k = 5 x 3 = 15. Verificação: AC = 9, BC = 12 e 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2. Passo 6: Resolvi a questão sem usar o gabarito e cheguei à alternativa D, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A (13) não respeita a proporção 3:5 com BC = 12; B (20) decorre de atribuir a BC o papel do 3 da razão; C (9) é o valor de AC, não da hipotenusa; E (12) é o valor de BC, que é um cateto e não pode ser igual à hipotenusa.
💡 Dica: Use a razão AC:AB para escrever AC em função de AB e aplique o teorema de Pitágoras.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente reconheceu a terna pitagórica 5, 12, 13 e usou 13 como hipotenusa, sem levar em conta a razão 3:5 dada no enunciado.
Por que engana: O aluno pode confundir a hipotenusa com um cateto ou interpretar a razão AC:AB na ordem incorreta, obtendo um comprimento incompatível com o triângulo.
O aluno provavelmente trocou os papéis das partes da razão, associando BC ao 3 da razão AC:AB, e assim obteve k = 4 e AB = 5 x 4 = 20.
O aluno provavelmente achou corretamente k = 3, mas tomou 3k = 9 como hipotenusa, confundindo o cateto AC com a hipotenusa AB.
Como AC:AB = 3:5, o teorema de Pitágoras mostra que BC:AB = 4:5. Assim, se BC = 12, então AB = 12*5/4 = 15.
O aluno provavelmente acredita que a hipotenusa tem o mesmo valor do lado dado, confundindo o cateto BC com a hipotenusa.
Raio-X da questão
Razão e teorema de Pitágoras
avaliacao
Teorema de Pitágoras · Razões entre segmentos
Revise a identificação da hipotenusa, o teorema de Pitágoras e o uso de razões entre lados.
O aluno pode confundir a hipotenusa com um cateto ou interpretar a razão AC:AB na ordem incorreta, obtendo um comprimento incompatível com o triângulo.
tomada_decisao
abstrato
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