(Dissertativa) Um motor CC tem resistência do armadura R_a = 2,00 O e indutância L_a = 50,0 mH; constantes K_e…

Questão

(Dissertativa) Um motor CC tem resistência do armadura R_a = 2,00 O e indutância L_a = 50,0 mH; constantes K_e = K_t = 0,050 (V·s/rad e N·m/A). Inércia do rotor J = 0,0100 kg·m². Partindo do repouso, aplica-se V = 24,0 V em t = 0. Modele o sistema elétrico e mecânico, obtenha i(t) e ?(t) analiticamente e calcule i(0), aceleração angular inicial a(0) e velocidade de regime ?_ss.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Equações: L·di/dt + R·i + K_e·? = V; J·d?/dt = K_t·i, com i(0)=V/R=24/2=12 A e ?(0)=0. Diferenciando a 1ª e substituindo d?/dt=K_t i/J resulta: L d²i/dt² + R di/dt + (K_e K_t / J) i = 0 com di/dt(0)=0. Parâmetros numéricos: L=0,050 H, R=2,00 O, K_eK_t/J=(0,05·0,05)/0,01=0,25 s?². Característica: d²i + 40 di +5 i =0 (dividindo por L), raízes r1˜-0,125 s?¹ e r2˜-39,875 s?¹. Solução: i(t)=C1 e^{r1 t}+C2 e^{r2 t} com C1+C2=12 e r1 C1 + r2 C2 =0 ? C1˜12,05 A, C2˜-0,05 A. Portanto i(t)˜12,05 e^{-0,125 t} -0,05 e^{-39,875 t} A. ?(t) obtém-se de J d?/dt = K_t i ? ?(t)=(K_t/J)?_0^t i(t)dt; integrando as exponenciais dá ?(t)˜(K_t/J)[(12,05/0,125)(1-e^{-0,125 t}) -(0,05/39,875)(1-e^{-39,875 t})] rad/s. Valores: i(0)=12,0 A; a(0)= (K_t i(0))/J =0,05·12/0,01 =60,0 rad/s². Regime: i_ss=0 A, ?_ss = V/K_e =24/0,05 =480 rad/s. Essas expressões mostram o decaimento rápido do termo de tempo curto (~0,025 s) e evolução dominada por t˜8,0 s até ?_ss.

Explicação

A solução apresentada utiliza as equações diferenciais que modelam o comportamento elétrico e mecânico do motor, permitindo encontrar a corrente i(t) e a velocidade angular ?(t) ao longo do tempo. Os cálculos de i(0), a(0) e ?_ss são realizados com base nas condições iniciais e nas constantes do sistema, resultando em valores que refletem o funcionamento do motor. A análise do comportamento transiente e do regime permanente evidencia como o motor se comporta ao longo do tempo, mostrando a convergência para a velocidade de regime.

Raio-X da questão

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