Um motor CC tem resistência de armadura Ra = 0,50 O, constante de torque Kt = 0,050 N·m/A e constante de força…

Questão

Um motor CC tem resistência de armadura Ra = 0,50 O, constante de torque Kt = 0,050 N·m/A e constante de força contra-eletromotriz Ke = 0,050 V·s/rad; momento de inércia do rotor J = 0,010 kg·m² e atrito viscoso b = 0,020 N·m·s/rad. É alimentado por uma bateria de tensão V = 24,0 V com resistência interna r = 0,50 O. Despreze indutância do circuito. Derive a EDO que relaciona ?(t) e calcule: (a) corrente inicial I(0); (b) velocidade de regime ?_ss (rad/s) e em rpm; (c) constante de tempo t do sistema; (d) escreva expressão de ?(t) e descreva textualmente a forma do gráfico ?(t). Use V - (Ra+r)·I - Ke·? = 0 e T = Kt·I.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

R_total = Ra + r = 1,00 O. A lei elétrica dá I = (V - Ke·?)/R_total. Torque T = Kt·I. Mecânica: J·d?/dt + b·? = T => J·d?/dt + b·? = Kt·(V - Ke·?)/R_total. Rearranjando: J·d?/dt + (b + Kt·Ke/R_total)·? = Kt·V/R_total. 2) I(0) = V/R_total = 24,0/1,00 = 24,0 A. 3) ?_ss = (Kt·V/R_total)/(b + Kt·Ke/R_total) = (0.05·24.0)/(0.020 + 0.0025) = 1.20/0.0225 = 53,333 rad/s ˜ 509 rpm. 4) t = J/(b + Kt·Ke/R_total) = 0.010/0.0225 = 0,444 s. 5) Solução: ?(t) = ?_ss·[1 - exp(-t/t)]. O gráfico de ?(t) é uma subida exponencial monótona a partir de 0 até ?_ss, com inclinação inicial máxima e alcançando ~63% de ?_ss em t = t. Também I(t) = (V - Ke·?(t))/R_total, decrescendo exponencialmente de 24,0 A até I_ss = (V - Ke·?_ss)/R_total.

Explicação

A derivação da EDO considera a relação entre as variáveis elétricas e mecânicas do motor, permitindo modelar o comportamento dinâmico do sistema. Os cálculos realizados para a corrente inicial, velocidade de regime e constante de tempo são baseados nas leis de Kirchhoff e nas equações de movimento, refletindo a interação entre a tensão aplicada, a resistência total e as constantes do motor. A expressão encontrada para a velocidade no tempo e a descrição do gráfico ilustram o comportamento transiente do motor, mostrando como ele se aproxima do estado estacionário.

Raio-X da questão

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