No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto é em C. Os catetos medem AC = 3k e BC = 4k e a hipotenusa AB mede 20…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto é em C. Os catetos medem AC = 3k e BC = 4k e a hipotenusa AB mede 20 cm. Determine k e os comprimentos dos catetos AC e BC.
- A) k = 4; AC = 12 cm; BC = 16 cm.
- B) k = 5; AC = 15 cm; BC = 20 cm
- C) k = 3; AC = 9 cm; BC = 12 cm
- D) k = 1; AC = 3 cm; BC = 4 cm
- E) k = 2; AC = 6 cm; BC = 8 cm
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. O triângulo é retângulo em C, então AB é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) e mede 20 cm. Os catetos são AC = 3k e BC = 4k.
- Aplique o Teorema de Pitágoras: AC^2 + BC^2 = AB^2.
- Substitua: (3k)^2 + (4k)^2 = 20^2, ou seja, 9k^2 + 16k^2 = 400.
- Some os termos semelhantes: 25k^2 = 400, logo k^2 = 16 e, como k é uma medida positiva, k = 4.
- Calcule os catetos: AC = 3 . 4 = 12 cm e BC = 4 . 4 = 16 cm.
- Verifique: 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2. Está correto.
- Conclusão: a alternativa A está certa e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: na B, k = 5 não satisfaz a hipotenusa de 20 cm, pois daria 25k^2 = 625, e não 400; na C, k = 3 daria hipotenusa de 15 cm; na D, k = 1 daria hipotenusa de 5 cm; na E, k = 2 daria hipotenusa de 10 cm.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras para encontrar k.
Alternativa por alternativa
(3k)²+(4k)²=(5k)²=AB² ? 25k²=20²=400 ? k²=16 ? k=4 (positivo). Assim AC=3·4=12 cm e BC=4·4=16 cm.
O aluno tomou o valor 20 como sendo o cateto BC, e não a hipotenusa, e ignorou o dado AB = 20 cm. Assim, calculou k = 20/4 = 5.
Por que engana: Confundir a relação entre os catetos e a hipotenusa, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
O aluno aplicou a terna pitagórica 3-4-5 de forma mecânica, sem usar a hipotenusa de 20 cm corretamente. Ao calcular k = 3, obteve hipotenusa de 15 cm, o que não confere com o enunciado.
O aluno usou apenas a proporção básica 3:4:5 com k = 1, como se a hipotenusa fosse 5, ignorando o valor de 20 cm fornecido no enunciado.
O aluno relacionou a hipotenusa 20 com 10 (metade dela), chegando a 5k = 10 e k = 2. Confundiu a hipotenusa com um valor dividido ao meio, o que não corresponde à relação do Teorema de Pitágoras.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · proporções em triângulos
Revisar o teorema de Pitágoras e suas aplicações.
Confundir a relação entre os catetos e a hipotenusa, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
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