No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto está em C. A hipotenusa AB mede 26 cm e a altura desde C até AB mede…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto está em C. A hipotenusa AB mede 26 cm e a altura desde C até AB mede 12 cm. Determine os comprimentos dos catetos AC e BC.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Seja a = AC e b = BC. Sabendo que AB = 26 e a·b = AB·h (produto dos catetos igual ao produto da hipotenusa pela altura), temos ab = 26·12 = 312. Também a² + b² = AB² = 26² = 676. Seja S = a + b. Então S² = a² + b² + 2ab = 676 + 624 = 1300 ? S = v1300 = 10v13. Os catetos são raízes de t² - S t + P = 0 com P = ab = 312. O discriminante é ? = S² - 4P = 1300 - 1248 = 52 = (2v13)². Assim a = (S + v?)/2 = (10v13 + 2v13)/2 = 6v13 e b = (10v13 - 2v13)/2 = 4v13. Portanto AC = 6v13 cm e BC = 4v13 cm.
Explicação
A solução utiliza a relação entre os catetos e a hipotenusa em um triângulo retângulo, aplicando a fórmula do produto dos catetos e a soma dos quadrados. O discriminante da equação quadrática permite encontrar os valores dos catetos, que são expressos em termos de raízes. A abordagem garante que os valores obtidos atendem às condições do triângulo retângulo, confirmando a consistência dos resultados.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · propriedades do triângulo retângulo
Revisar o teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos retângulos.
O aluno pode confundir a relação entre os catetos e a hipotenusa, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
pensamento_critico
cientifico
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