No triângulo retângulo ABC, reto em C, a altura CD sobre a hipotenusa AB determina AD = 12 cm e DB = 27 cm…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC, reto em C, a altura CD sobre a hipotenusa AB determina AD = 12 cm e DB = 27 cm. Calcule AC e BC (expresse em forma simplificada com radical).
- A) AC = 6 cm; BC = 9 cm.
- B) AC = 6v13 cm; BC = 9v13 cm.
- C) AC = 6v2 cm; BC = 9v2 cm.
- D) AC = 12v13 cm; BC = 27v13 cm.
- E) AC = 39 cm; BC = 12 cm.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Resolvi a questão sem usar o gabarito. A hipotenusa AB é a soma dos segmentos determinados pela altura: AB = AD + DB = 12 + 27 = 39 cm.
- Em um triângulo retângulo, cada cateto é média proporcional entre a hipotenusa e a projeção desse cateto sobre ela. Assim, AC^2 = AD x AB = 12 x 39 = 468.
- Calculo AC = raiz de 468. Como 468 = 36 x 13, temos AC = 6 raiz de 13 cm.
- Para o outro cateto, BC^2 = DB x AB = 27 x 39 = 1053. Como 1053 = 81 x 13, temos BC = 9 raiz de 13 cm.
- Conferência pelo teorema de Pitágoras: AC^2 + BC^2 = 468 + 1053 = 1521 = 39^2 = AB^2. O resultado está correto.
- Comparando com o gabarito oficial (B), o resultado coincide. Por que as outras estão erradas: A traz valores que não respeitam as projeções 12 e 27 e não satisfazem Pitágoras; C supõe um triângulo isósceles, o que não é dado no enunciado; D multiplica os segmentos pelo radical de 13 sem usar a hipotenusa 39; E confunde o cateto com a própria hipotenusa e com a projeção AD, o que é impossível num triângulo retângulo.
💡 Dica: Use o teorema das projeções na hipotenusa: AC² = AB·AD e BC² = AB·DB.
Alternativa por alternativa
Assumiu que os catetos seriam números inteiros ligados diretamente aos segmentos (como metade de AD e um terço de DB), sem aplicar a relação de média proporcional com a hipotenusa.
Com AB = AD+DB = 39 cm, usa-se relações da altura: AC^2 = AD·AB = 12·39 = 468 = 36·13 ? AC = 6v13; BC^2 = DB·AB = 27·39 = 81·13 ? BC = 9v13.
Confundiu o triângulo com um triângulo retângulo isósceles, em que os catetos são iguais e a hipotenusa envolve raiz de 2, algo que não está dado no enunciado.
Por que engana: Usar AD e DB diretamente como comprimentos dos catetos, ou aplicar as relações métricas sem somar as projeções para obter a hipotenusa AB.
Multiplicou diretamente os segmentos AD e DB pelo radical de 13, aplicando um fator errado em vez de usar AD x AB e DB x AB dentro da raiz quadrada.
Tomou a hipotenusa AB = 39 como se fosse um cateto e o segmento AD = 12 como o outro cateto, ignorando que a hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo.
Raio-X da questão
Teorema das projeções na hipotenusa
avaliacao
Relações métricas no triângulo retângulo · Simplificação de radicais
Revise as relações métricas no triângulo retângulo e a simplificação de radicais.
Usar AD e DB diretamente como comprimentos dos catetos, ou aplicar as relações métricas sem somar as projeções para obter a hipotenusa AB.
tomada_decisao
abstrato
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