Num triângulo retângulo ABC, reto em C, tem-se AC = 3x, BC = 4x e hipotenusa AB = 25. Determine x, AC e BC.
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo ABC, reto em C, tem-se AC = 3x, BC = 4x e hipotenusa AB = 25. Determine x, AC e BC.
- A) x = 3; AC = 9; BC = 12
- B) x = 5; AC = 15; BC = 20
- C) x = 7; AC = 21; BC = 28
- D) x = 10; AC = 30; BC = 40
- E) x = 8; AC = 24; BC = 32
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Como o triângulo é retângulo em C, vale o Teorema de Pitágoras: AB^2 = AC^2 + BC^2, com AB a hipotenusa.
- Substituindo os valores em função de x: 25^2 = (3x)^2 + (4x)^2, ou seja, 625 = 9x^2 + 16x^2.
- Somando os termos semelhantes: 625 = 25x^2, logo x^2 = 25 e x = 5 (considerando apenas a raiz positiva, pois é uma medida de comprimento).
- Com x = 5, temos AC = 3 . 5 = 15 e BC = 4 . 5 = 20.
- Conferência: 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2, o que confirma a resposta.
- Por que as outras estão erradas: na A, x = 3 faz a hipotenusa valer 15, não 25; na C, x = 7 faz a hipotenusa valer 35; na D, x = 10 faz a hipotenusa valer 50; na E, x = 8 faz a hipotenusa valer 40. Apenas a alternativa B torna a hipotenusa igual a 25.
- Conclusão: a alternativa correta é a B, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras para encontrar x.
Alternativa por alternativa
O aluno pegou a terna pitagórica 3-4-5 de forma mecânica e usou x = 3 sem verificar que a hipotenusa 5x precisa valer 25. Não relacionou o valor de x ao dado AB = 25.
Por que engana: Confundir as relações entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
Pelo Teorema de Pitágoras: (3x)²+(4x)²=25² ? 9x²+16x²=625 ?25x²=625 ?x²=25 ?x=5. Então AC=15, BC=20.
O aluno somou os coeficientes dos lados (3 + 4 = 7) e tomou esse valor como x, sem montar a equação com a hipotenusa. Confundiu a soma dos catetos com a relação dada pelo Teorema de Pitágoras.
O aluno provavelmente multiplicou a hipotenusa por 2 (2 . 25 = 50) ou usou 5x = 50, interpretando mal a relação entre x e a hipotenusa. Assim, o valor de x ficou dobrado em relação ao correto.
O aluno montou a equação de Pitágoras corretamente, mas errou ao isolar ou extrair a raiz de x, obtendo x = 8. Esse erro de cálculo levou a valores de AC = 24 e BC = 32 que não satisfazem AB = 25.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · proporções em triângulos
Revisar o teorema de Pitágoras e suas aplicações.
Confundir as relações entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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