Matemática5º anoBNCC EF05MA18Difícil⏱ longo

Demonstre, usando semelhança de triângulos e o Teorema de Pitágoras, que em um triângulo retângulo ABC com…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF05MA18

Reconhecer a congruência dos ângulos e a proporcionalidade entre os lados correspondentes de figuras poligonais em situações de ampliação e de redução em malhas quadriculadas e usando tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Demonstre, usando semelhança de triângulos e o Teorema de Pitágoras, que em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C e altura CD sobre a hipotenusa AB vale AD = AC²/AB e DB = BC²/AB. Apresente a demonstração completa.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere triângulos ABC (retângulo em C), ACD e BCD. Triângulo ACD é semelhante a ABC, pois compartilham o ângulo em A e ambos têm ângulo reto em C e em C/AB respectivamente; assim AC/AB = AD/AC ? AD = AC²/AB. De modo análogo, triângulo BCD ~ ABC dá BC/AB = DB/BC ? DB = BC²/AB. Alternativamente, AB = AD+DB e aplicando as igualdades obtém-se as relações desejadas; também resulta CD² = AD·DB.

Explicação

A demonstração utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações proporcionais entre os lados, permitindo derivar as fórmulas para AD e DB. Além disso, a aplicação do Teorema de Pitágoras reforça a conexão entre as alturas e os segmentos da hipotenusa, evidenciando a relação entre as áreas e os produtos dos segmentos. Assim, a resposta apresenta uma argumentação lógica e fundamentada, utilizando conceitos geométricos fundamentais.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Criar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ interpretativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

semelhança de triângulos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

semelhança de triângulos · Teorema de Pitágoras

📚 Reveja

Revisar o Teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos semelhantes.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir as relações entre os lados dos triângulos, aplicando incorretamente o Teorema de Pitágoras sem considerar a semelhança dos triângulos envolvidos.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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