Seja o triângulo retângulo ABC com ?C = 90° e CH a altura até a hipotenusa AB, que determina projeções AH e HB…

Questão

Seja o triângulo retângulo ABC com ?C = 90° e CH a altura até a hipotenusa AB, que determina projeções AH e HB (AH+HB = AB). Demonstre que AH = AC²/AB, HB = BC²/AB e CH = (AC·BC)/AB. Forneça demonstração completa usando semelhança de triângulos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere a altura CH em um triângulo retângulo ABC (?C=90°). Os triângulos ACH e CHB são semelhantes ao triângulo ABC: ACH ~ ABC e CHB ~ ABC. 1) Semelhança ACH ~ ABC implica AC/AB = AH/AC ? AH = AC²/AB. 2) Semelhança CHB ~ ABC implica BC/AB = HB/BC ? HB = BC²/AB. 3) Para CH, usando semelhança ACH ~ CHB (ou relações anteriores): CH/AC = BH/BC = HB/BC, mas mais direto: de AH·HB = CH² (produto das projeções = CH²) ou multiplicando AH·AB = AC² e HB·AB = BC² e somando obtém-se AB·CH = AC·BC; rearranjando CH = (AC·BC)/AB. Assim obtem-se as três fórmulas AH = AC²/AB, HB = BC²/AB e CH = (AC·BC)/AB por argumentos de semelhança entre os triângulos retângulos formados pela altura.

Explicação

A demonstração utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações proporcionais entre os lados do triângulo retângulo e suas projeções. A partir dessas relações, é possível derivar as fórmulas para as projeções AH e HB, além da altura CH, utilizando propriedades geométricas fundamentais. A abordagem é clara e lógica, garantindo a validação das fórmulas apresentadas.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, seja CH a altura traçada até a hipotenusa AB. Usando semelhança de triângulos…
• Disserte e demonstre, usando semelhança de triângulos gerada pela altura ao vértice do ângulo reto, as três relações…
• No triângulo retângulo ABC com ângulo reto em A, seja H a projeção de A sobre a hipotenusa BC (AH ? BC). Prove que AB² =…
• No triângulo retângulo ABC (ângulo reto em C), AC = 9 cm e BC = 12 cm. Seja CH a altura relativa à hipotenusa AB e H a…
• No triângulo ABC, o ângulo em C é reto. A altura CH é traçada de C até a hipotenusa AB, encontrando-a em H. Prove que…
• Considere o triângulo retângulo ABC com ?C = 90°. Seja CH a altura até a hipotenusa AB, com AH = 3x e HB = 4x. Se AB =…

Todas as questões de Relações métricas no triângulo retângulo