(OBJETIVA) No triângulo retângulo ABC, ângulo reto em C, a altura CD sobre a hipotenusa AB determina AD = 8 e…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
(OBJETIVA) No triângulo retângulo ABC, ângulo reto em C, a altura CD sobre a hipotenusa AB determina AD = 8 e DB = 18. Determine os comprimentos dos catetos AC e BC.
- A) AC = 10 e BC = 10
- B) AC = 4v13 e BC = 6v13.
- C) AC = 2v39 e BC = 3v39
- D) AC = 8 e BC = 18
- E) AC = 5v13 e BC = 7v13
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A hipotenusa AB é a soma das projeções dos catetos sobre ela: AB = AD + DB = 8 + 18 = 26.
- Em um triângulo retângulo, cada cateto é média proporcional entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela. Logo, AC^2 = AD * AB = 8 * 26 = 208, e AC = raiz de 208 = raiz de (16 * 13) = 4 raiz de 13.
- Analogamente, BC^2 = DB * AB = 18 * 26 = 468 = 36 * 13, e BC = raiz de 468 = 6 raiz de 13.
- Portanto AC = 4 raiz de 13 e BC = 6 raiz de 13, que é exatamente a alternativa B, coincidindo com o gabarito oficial.
- Verificação: AC^2 + BC^2 = 208 + 468 = 676 = 26^2 = AB^2, confirmando o teorema de Pitágoras.
- Por que as outras estão erradas: A tem catetos iguais, o que só ocorreria em triângulo isósceles e não é compatível com as projeções 8 e 18; C usa a razão 2:3, quando a razão correta entre os catetos é 4:9 (proporção das projeções AD:DB), e os valores não satisfazem as relações métricas; D toma as projeções AD e DB como se fossem os próprios catetos; E tem razão 5:7, que não corresponde a 4:6 (ou 2:3) dada pelas projeções, e a soma dos quadrados não iguala AB^2 = 676.
💡 Dica: Utilize o teorema de Pitágoras para encontrar os catetos.
Alternativa por alternativa
Supôs que o triângulo é isósceles, ou seja, que a altura divide os catetos de forma simétrica, dando catetos iguais de medida 10 sem usar os dados AD = 8 e DB = 18.
Por que engana: Confundir a relação entre os catetos e a hipotenusa, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
AB = AD+DB = 26. Em triângulo retângulo com altitude ao longo da hipotenusa valem AC^2 = AB·AD e BC^2 = AB·DB. Logo AC = v(26·8)=4v13 e BC = v(26·18)=6v13.
Simplificou mal a razão entre as projeções (8:18 não é 2:3, e sim 4:9) e aplicou essa proporção com cálculos que não seguem a relação AC^2 = AD * AB.
Confundiu os segmentos AD e DB, que são projeções dos catetos sobre a hipotenusa, com os próprios catetos, sem perceber que a altura CD cria esses segmentos.
Acertou a forma geral com raiz de 13, mas errou o produto ao aplicar as relações métricas, obtendo a razão 5:7 em vez de 4:6, e não verificou se o teorema de Pitágoras era satisfeito.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · propriedades do triângulo retângulo
Revisar o teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos retângulos.
Confundir a relação entre os catetos e a hipotenusa, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
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