No triângulo retângulo ABC o ângulo reto é em C. Seja D o pé da altura de C sobre a hipotenusa AB. Sabem-se AC…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC o ângulo reto é em C. Seja D o pé da altura de C sobre a hipotenusa AB. Sabem-se AC = 15 cm e CD = 9 cm. Determine os comprimentos de BC e AB e verifique a relação AD·DB = CD².
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Seja BC = x. Na propriedade da altura ao quadrado: AB = (AC·BC)/CD = (15x)/9 = (5x)/3. Pela Pitágoras: AC²+BC² = AB² ? 225 + x² = (5x/3)² = 25x²/9. Multiplicando por 9: 2025 + 9x² = 25x² ? 2025 = 16x² ? x² = 2025/16 = 126,5625 ? x = 11,25 cm. Então BC = 11,25 cm e AB = (5·11,25)/3 = 18,75 cm. Calcule AD = AC²/AB = 225/18,75 = 12 cm e DB = BC²/AB = 126,5625/18,75 = 6,75 cm. Verifica-se AD·DB = 12·6,75 = 81 = 9² = CD², conforme pedido.
Explicação
A solução utiliza a relação entre os lados do triângulo retângulo e a altura, aplicando a fórmula da altura ao quadrado para encontrar a hipotenusa. Em seguida, a relação de Pitágoras é empregada para determinar os comprimentos dos lados restantes. Por fim, a verificação da relação AD·DB = CD² confirma a consistência dos valores encontrados.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · propriedades do triângulo retângulo
Revisar o Teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos retângulos.
O aluno pode confundir a relação entre os segmentos AD, DB e CD, não aplicando corretamente o teorema de Pitágoras.
ciencia_tecnologia
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