Em um experimento de monitoramento de um feixe de partículas radioativas, cada partícula apresenta tempo médio…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar e representar, com ou sem o uso de dispositivos e de aplicativos digitais específicos, as transformações e conservações em sistemas que envolvam quantidade de matéria, de energia e de movimento para realizar previsões sobre seus comportamentos em situações cotidianas e em processos produtivos que priorizem o desenvolvimento sustentável, o uso consciente dos recursos naturais e a preservação da vida em todas as suas formas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um experimento de monitoramento de um feixe de partículas radioativas, cada partícula apresenta tempo médio de vida próprio t0 = 5,00 × 10^4 s, medido no referencial em que ela está em repouso. O feixe percorre, sem aceleração apreciável, uma distância L = 1,00 × 10^9 m com velocidade constante v = 0,90c, em que c = 3,00 × 10^8 m/s. No referencial do laboratório, o tempo de percurso é t_lab = L/v. De acordo com a relatividade restrita, o tempo médio de vida observado no laboratório é ?t0, sendo ? = 1/v(1 - v²/c²). A fração de partículas que permanece no feixe após um intervalo de tempo t_lab é dada por N/N0 = exp[-t_lab/(?t0)]. Com base nas informações do experimento, qual é aproximadamente a fração N/N0 de partículas radioativas que permanece no feixe ao chegar ao final do percurso?
- A) A fração remanescente é N/N0 = 0,999830, ou aproximadamente 99,9830%.
- B) A fração remanescente é N/N0 = 0,999852, ou aproximadamente 99,9852%.
- C) A fração remanescente é N/N0 = 0,999969, ou aproximadamente 99,9969%.
- D) A fração remanescente é N/N0 = 0,999968, ou aproximadamente 99,9968%.
- E) A fração remanescente é N/N0 = 0,999926, ou aproximadamente 99,9926%.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Interpretei a fórmula garbled do enunciado como o fator de Lorentz gama = 1/raiz(1 - v^2/c^2), que é o procedimento padrão da relatividade restrita. Passo 2: Calculei v = 0,90c = 2,70 × 10^8 m/s. Passo 3: Calculei o tempo de percurso no laboratório: t_lab = L/v = 1,00 × 10^9 / 2,70 × 10^8 = 3,704 s. Passo 4: Calculei gama: v^2/c^2 = 0,81, logo 1 - 0,81 = 0,19 e gama = 1/raiz(0,19) = 1/0,43589 = 2,2942. Passo 5: Calculei o tempo médio de vida observado no laboratório: gama × t0 = 2,2942 × 5,00 × 10^4 s = 1,1471 × 10^5 s. Passo 6: Calculei o expoente: t_lab/(gama t0) = 3,704 / 1,1471 × 10^5 = 3,2288 × 10^-5. Passo 7: Calculei N/N0 = exp(-3,2288 × 10^-5) = 1 - 3,2288 × 10^-5 = 0,999968, ou aproximadamente 99,9968%. Assim, a alternativa D está correta e concorda com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A usa o inverso de gama (raiz de 0,19 em vez de 1/raiz de 0,19), o que resulta em um expoente muito maior; B usa um fator de Lorentz muito pequeno, de cerca de 0,5, o que superestima o decaimento; C erra a subtração 1 - 0,81 como 0,18, o que altera gama e o resultado no quinto algarismo; E esquece o fator de Lorentz e usa t0 diretamente, deixando de considerar a dilatação temporal.
💡 Dica: Calcule t_lab e substitua na fórmula para encontrar N/N0.
Alternativa por alternativa
O aluno inverte o fator de Lorentz e usa raiz de (1 - v^2/c^2) como gama, obtendo um tempo de vida dilatado muito menor e um decaimento maior.
O aluno calcula gama com valor muito pequeno, cerca de 0,5, reduzindo indevidamente o tempo de vida observado no laboratório e superestimando o decaimento.
Por que engana: O aluno pode confundir a fração remanescente com a quantidade inicial, não aplicando corretamente a fórmula do decaimento.
O aluno subtrai mal 1 - 0,81 e obtém 0,18 em vez de 0,19, o que altera o fator gama e gera um resultado muito próximo, mas incorreto, no quinto algarismo.
Calcula-se inicialmente o tempo de percurso no laboratório: t_lab = L/v = (1,00 × 10^9)/(0,90 × 3,00 × 10^8) ≈ 3,70 s. Para v = 0,90c, o fator de Lorentz é γ = 1/√(1 − 0,90²) ≈ 2,294. Assim, N/N0 = exp[−3,70/(2,294 × 5,00 × 10^4)] ≈ exp(−3,23 × 10^−5) ≈ 0,999968.
O aluno ignora a dilatação temporal e usa o tempo de vida próprio t0 diretamente, sem multiplicar por gama, o que subestima o decaimento.
Raio-X da questão
decaimento radioativo
avaliacao
decaimento radioativo · transformações de Lorentz
Revisar a fórmula do decaimento radioativo e a relatividade.
O aluno pode confundir a fração remanescente com a quantidade inicial, não aplicando corretamente a fórmula do decaimento.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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