Em experimentos de raios cósmicos, múons são produzidos a cerca de 10,0 km de altitude. No referencial do…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em experimentos de raios cósmicos, múons são produzidos a cerca de 10,0 km de altitude. No referencial do múon, o tempo médio de vida é t0 = 2,20 × 10^-6 s. Um feixe de múons desce verticalmente com velocidade v = 0,998c, em que c = 3,00 × 10^8 m/s. A probabilidade de um múon não decair após um intervalo de tempo t, medido no referencial em que ele está sendo observado, é dada por N/N0 = exp[-t/(?t0)], sendo ? = 1/v(1 - v²/c²). Considerando a distância até o nível do mar igual a 1,00 × 10^4 m, qual é aproximadamente a fração dos múons produzidos na alta atmosfera que chega ao nível do mar?
- A) A fração que chega ao nível do mar é aproximadamente 5,00 × 10^-1, ou 50,0%.
- B) A fração que chega ao nível do mar é aproximadamente 1,00, ou 100%.
- C) A fração que chega ao nível do mar é aproximadamente 3,82 × 10^-1, ou 38,2%.
- D) A fração que chega ao nível do mar é aproximadamente 2,37 × 10^-2, ou 2,37%.
- E) A fração que chega ao nível do mar é aproximadamente 6,95 × 10^-1, ou 69,5%.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Interpretar a fórmula. O símbolo de gama ficou ilegível no enunciado; pela física, gama = 1/raiz(1 - v^2/c^2), o fator de Lorentz, e a probabilidade de sobrevivência é N/N0 = exp[-t/(gama t0)], com t medido no referencial do laboratório (solo). Passo 2: Calcular o fator de Lorentz. v = 0,998c, logo v^2/c^2 = 0,996004 e 1 - v^2/c^2 = 0,003996. Raiz de 0,003996 = 0,063214, então gama = 1/0,063214 = 15,82. Passo 3: Calcular a dilatação do tempo de vida. gama t0 = 15,82 x 2,20 x 10^-6 s = 3,48 x 10^-5 s. Passo 4: Calcular o tempo de voo no referencial do solo. t = d/v = 1,00 x 10^4 m / (0,998 x 3,00 x 10^8 m/s) = 3,34 x 10^-5 s. Passo 5: Calcular o expoente. t/(gama t0) = 3,34/3,48 = 0,960. Passo 6: Calcular a fração. N/N0 = exp(-0,960) = 0,383, ou 3,83 x 10^-1, que corresponde a 38,2% (valor da alternativa C, arredondado). Passo 7: Conferir as demais alternativas. A (50%) está errada porque confunde o tempo médio de vida com a meia-vida. B (100%) está errada porque ignora o decaimento, que ocorre mesmo com dilatação do tempo. D (2,37%) está errada porque não corresponde ao cálculo com o fator de Lorentz. E (69,5%) está errada porque o expoente obtido seria menor que o correto. Conclusão: o gabarito C está correto.
💡 Dica: Calcule o tempo de vida no laboratório e aplique na fórmula de sobrevivência.
Alternativa por alternativa
Trata o tempo médio de vida como se fosse a meia-vida, supondo que a metade dos múons sobrevive após um intervalo igual a t0 dilatado.
Acredita que a dilatação do tempo torna o múon praticamente imortal para o observador, ignorando que a probabilidade de sobrevivência ainda cai com o intervalo de tempo.
Primeiro, calcula-se o tempo de voo no referencial da Terra: t = L/v = 1,00 × 10^4/(0,998 × 3,00 × 10^8) ≈ 3,34 × 10^-5 s. O fator relativístico é γ = 1/√(1 − 0,998²) ≈ 15,8. Portanto, o tempo médio de vida do múon medido na Terra é γt0 ≈ 15,8 × 2,20 × 10^-6 ≈ 3,48 × 10^-5 s. Assim, N/N0 = exp[-(3,34 × 10^-5)/(3,48 × 10^-5)] ≈ exp(-0,961) ≈ 0,382. Logo, cerca de 38,2% dos múons chegam ao nível do mar.
Acerta o modelo exponencial, mas comete erro no cálculo do fator de Lorentz ou da exponencial, obtendo um expoente muito maior que o correto (cerca de 3,7 em vez de 0,96).
Calcula corretamente a estrutura da fórmula, mas obtém um expoente menor que 0,96 por arredondamento grosseiro do fator de Lorentz ou da velocidade, o que leva a uma fração maior que a correta.
Raio-X da questão
vida do muon
avaliacao
dilatação do tempo · movimento relativístico
Revisar conceitos de dilatação do tempo e decaimento exponencial.
Confundir a vida própria do muón com a vida observada na Terra, não considerando a dilatação do tempo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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