Em uma experiência de Física de partículas, um grão radioativo desloca-se em linha reta em relação à Terra com…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar a evolução estelar associando-a aos modelos de origem e distribuição dos elementos químicos no Universo, compreendendo suas relações com as condições necessárias ao surgimento de sistemas solares e planetários, suas estruturas e composições e as possibilidades de existência de vida, utilizando representações e simulações, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma experiência de Física de partículas, um grão radioativo desloca-se em linha reta em relação à Terra com velocidade constante de 0,90c. O radionuclídeo presente no grão tem meia-vida própria T1/2,0 = 2,00 × 108 s, medida no referencial em que o grão está em repouso. Para um observador na Terra, os intervalos de tempo do grão sofrem dilatação temporal. Considere c = 3,00 × 108 m/s e utilize ? = 1/v(1 - v²/c²), T1/2 = ?T1/2,0 e N/N0 = 2^(-t/T1/2). Após 1,00 × 108 s medidos no referencial da Terra, qual é aproximadamente a fração de núcleos radioativos que permanece no grão?
- A) N/N₀ ≈ 4,52 × 10⁻¹ (45,2%).
- B) N/N₀ ≈ 7,07 × 10⁻¹ (70,7%).
- C) N/N₀ ≈ 2,15 × 10⁻¹ (21,5%).
- D) N/N₀ ≈ 9,27 × 10⁻¹ (92,7%).
- E) N/N₀ ≈ 8,60 × 10⁻¹ (86,0%).
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Calcule o fator de Lorentz para v = 0,90c. Temos 1 - v²/c² = 1 - 0,81 = 0,19, e gama = 1/raiz de 0,19, que vale aproximadamente 2,294. Passo 2: Calcule a meia-vida medida no referencial da Terra. T1/2 = gama x T1/2,0 = 2,294 x 2,00 x 10^8 s, que vale aproximadamente 4,59 x 10^8 s. A meia-vida na Terra é maior, pois o relógio do grão, em movimento, anda mais devagar para o observador terrestre. Passo 3: Calcule o expoente da lei de decaimento. t/T1/2 = 1,00 x 10^8 / 4,59 x 10^8, que vale aproximadamente 0,218. Passo 4: Calcule a fração remanescente. N/N0 = 2^(-0,218), que equivale a e^(-0,218 x 0,693), ou seja, aproximadamente 0,860, isto é, 86,0%. Passo 5: Compare com o gabarito. O resultado coincide com a alternativa E, que é o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a alternativa A usa um expoente maior do que o correto, como se o tempo tivesse sido multiplicado pelo fator de dilatação em vez de a meia-vida; a alternativa B ignora a dilatação temporal e usa a meia-vida própria, obtendo 2^(-0,5); a alternativa C aplica a dilatação de forma exagerada, gerando um expoente grande demais; a alternativa D usa uma meia-vida efetiva longa demais, o que deixa o decaimento quase nulo.
💡 Dica: Calcule a fração remanescente usando a fórmula dada.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente inverteu a relação da dilatação temporal e multiplicou o tempo medido pelo fator de Lorentz, ou seja, tratou o intervalo da Terra como se fosse o intervalo próprio do grão encurtado. Assim obtém um expoente de cerca de 1,15 e fração de 0,452.
O aluno ignorou a dilatação temporal e usou diretamente a meia-vida própria de 2,00 x 10^8 s, o que dá 2^(-0,5), igual a 0,707. Ele não aplicou o enunciado, que pede a meia-vida medida no referencial da Terra.
Por que engana: O aluno pode confundir o tempo observado no referencial da Terra com o tempo próprio do grão, não aplicando corretamente a dilatação do tempo na fórmula da fração remanescente.
O aluno aplicou o fator de dilatação de forma incorreta, provavelmente elevando-o ao quadrado ou fazendo a correção duas vezes, o que gera um expoente maior do que o correto. Assim a fração cai demais, para cerca de 0,215.
O aluno aplicou a dilatação temporal duplicada ou usou um valor de meia-vida longo demais, o que faz o expoente ficar pequeno, em torno de 0,11. Como consequência, a fração remanescente fica próxima de 1, em 0,927.
Para v = 0,90c, γ = 1/√(1 − 0,90²) = 1/√0,19 ≈ 2,29. Assim, a meia-vida medida na Terra é T₁/₂ = γT₁/₂,₀ ≈ 2,29 × 2,00 × 10⁸ s = 4,59 × 10⁸ s. Portanto, N/N₀ = 2^[−(1,00 × 10⁸)/(4,59 × 10⁸)] ≈ 2⁻⁰,²¹⁸ ≈ 0,860, ou 86,0%.
Raio-X da questão
decadência radioativa
avaliacao
decadência radioativa · dilatação do tempo
Revisar a fórmula da fração remanescente em processos de decadência radioativa.
O aluno pode confundir o tempo observado no referencial da Terra com o tempo próprio do grão, não aplicando corretamente a dilatação do tempo na fórmula da fração remanescente.
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cientifico
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