Um paralelepípedo reto-retângulo tem arestas da base com comprimentos 9 m e 12 m e altura 13 m. Calcule a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um paralelepípedo reto-retângulo tem arestas da base com comprimentos 9 m e 12 m e altura 13 m. Calcule a diagonal espacial d em forma simplificada.
- A) d = v394 m
- B) d = v500 m
- C) d = v800 m
- D) d = v200 m
- E) d = 30 m
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A diagonal espacial de um paralelepípedo reto-retângulo com arestas a, b e c é dada por d = raiz de (a^2 + b^2 + c^2). Passo 2: Substituindo os valores do enunciado, a = 9, b = 12 e c = 13, temos d = raiz de (9^2 + 12^2 + 13^2). Passo 3: Calculando os quadrados, 9^2 = 81, 12^2 = 144 e 13^2 = 169. Passo 4: Somando, 81 + 144 + 169 = 394, logo d = raiz de 394 m. Passo 5: Como 394 não possui fator quadrado perfeito maior que 1 (394 = 2 x 197, com 197 primo), a forma simplificada é d = raiz de 394 m, que corresponde à alternativa A, concordando com o gabarito oficial. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa B usa um valor que não corresponde à soma dos três quadrados; a C e a D também resultam de soma incorreta dos quadrados; a E (30 m) confunde a diagonal com uma soma linear das medidas, o que não tem base geométrica, já que a soma simples das arestas seria 34 e não 30.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras duas vezes, incluindo a altura na diagonal da base.
Alternativa por alternativa
A diagonal espacial d = v(9² + 12² + 13²) = v(81+144+169) = v394, obtida aplicando Pitágoras duas vezes.
O aluno provavelmente calculou apenas parte dos quadrados e dobrou o resultado, por exemplo 2 x (81 + 169), obtendo 500 sem considerar corretamente a soma dos três quadrados da diagonal espacial.
O aluno provavelmente errou a soma dos quadrados das três arestas, chegando a um total maior que 394, o que indica erro de cálculo ao montar a expressão raiz de (9^2 + 12^2 + 13^2).
O aluno provavelmente errou os quadrados das medidas ou deixou de somar uma das arestas, obtendo 200 dentro da raiz, ou seja, uma soma incompleta ou com erro aritmético.
O aluno provavelmente acredita que a diagonal espacial é obtida somando (ou fazendo média) linearmente as medidas das arestas, a partir de uma intuição do dia a dia de que a distância total é a soma dos lados, sem usar o Teorema de Pitágoras no espaço.
Por que engana: O aluno pode calcular apenas a diagonal da base ou somar diretamente as três arestas, sem aplicar o teorema de Pitágoras para obter a diagonal espacial.
Raio-X da questão
Diagonal espacial de paralelepípedo
avaliacao
Teorema de Pitágoras em triângulos retângulos · Radiciação e simplificação de raízes
Revise o teorema de Pitágoras e sua aplicação em diagonais de prismas retangulares.
O aluno pode calcular apenas a diagonal da base ou somar diretamente as três arestas, sem aplicar o teorema de Pitágoras para obter a diagonal espacial.
tomada_decisao
abstrato
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