Num paralelepípedo reto-retângulo as arestas da base medem 7 cm e 24 cm e a altura é 10 cm. Calcule a diagonal…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num paralelepípedo reto-retângulo as arestas da base medem 7 cm e 24 cm e a altura é 10 cm. Calcule a diagonal espacial d do sólido.
- A) d = 35 cm
- B) d = 15 cm
- C) d = v(7²+24²+10²) = v725 = 5v29 cm
- D) d = v(7² + 10²)
- E) d = 5v10 cm
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Em um paralelepípedo reto-retângulo, a diagonal espacial d relaciona as três dimensões (a, b, c) pela extensão do Teorema de Pitágoras: d = raiz de (a^2 + b^2 + c^2).
- Identifique as medidas: a = 7 cm, b = 24 cm e c = 10 cm (altura).
- Calcule os quadrados: 7^2 = 49, 24^2 = 576 e 10^2 = 100.
- Some os valores: 49 + 576 + 100 = 725.
- Calcule a raiz: d = raiz de 725. Como 725 = 25 × 29, temos raiz de 725 = 5 × raiz de 29, portanto d = 5 raiz de 29 cm (aproximadamente 26,9 cm).
- Conclusão: a alternativa C está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque 35 cm não resulta de nenhuma operação correta com as medidas. A alternativa B está errada porque 15 cm é menor que a aresta de 24 cm, o que é impossível, já que a diagonal é sempre maior que qualquer aresta. A alternativa D está errada porque apenas representa a diagonal de uma face, desprezando a dimensão de 24 cm. A alternativa E está errada porque 5 raiz de 10 (aproximadamente 15,8 cm) também é menor que 24 cm, o que é impossível para a diagonal.
💡 Dica: Use a fórmula da diagonal espacial de um paralelepípedo.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tratou a diagonal como se fosse uma soma linear das medidas, tentando obter algo como 7 + 24 + 4 ou similar, sem aplicar a relação quadrática do Teorema de Pitágoras.
Por que engana: Confundir a fórmula da diagonal espacial com a da diagonal da base, utilizando apenas duas dimensões em vez de três.
O aluno provavelmente escolheu um valor sem aplicar o método, possivelmente fazendo combinações aritméticas simples das medidas (como subtrações), sem perceber que a diagonal deve ser maior que a maior aresta, 24 cm.
A diagonal espacial d = v(diagonal_da_base² + altura²). Diagonal da base = v(7²+24²)=25, logo d = v(25²+10²)=v(625+100)=v725 = 5v29 cm.
O aluno provavelmente calculou apenas a diagonal de uma face formada pelas medidas 7 cm e 10 cm, esquecendo que a diagonal espacial deve incluir as três dimensões, inclusive a aresta de 24 cm.
O aluno provavelmente errou na soma dos quadrados ou na simplificação da raiz, chegando a 250 em vez de 725; mesmo assim, 5 raiz de 10 é menor que 24 cm, o que deveria ter sinalizado o erro.
Raio-X da questão
diagonal espacial
avaliacao
teorema de pitágoras · volume de paralelepípedo
Revisar a fórmula da diagonal em sólidos geométricos.
Confundir a fórmula da diagonal espacial com a da diagonal da base, utilizando apenas duas dimensões em vez de três.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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