Um paralelepípedo retângulo tem base de 8 cm por 6 cm e altura 5 cm. Seja D a diagonal espacial do vértice…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um paralelepípedo retângulo tem base de 8 cm por 6 cm e altura 5 cm. Seja D a diagonal espacial do vértice inferior frontal ao vértice superior oposto. Determine o ângulo ? entre D e o plano da base (em graus).
- A) ? = 90°.
- B) ? = 30°.
- C) ? = 45°.
- D) ? = 60°.
- E) ? = arctan(5/10) ˜ 26,565°
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Calcule a diagonal da base, que é um retângulo de 8 cm por 6 cm: d^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100, logo d = 10 cm. Passo 2: Chame de A o vértice inferior frontal e de C' o vértice superior oposto, situado acima do vértice inferior diagonalmente oposto. A projeção do segmento AC' sobre o plano da base é a diagonal da base de comprimento 10 cm. Passo 3: Forma-se um triângulo retângulo com a diagonal espacial AC' como hipotenusa, a projeção horizontal (10 cm) como um cateto e a altura (5 cm) como o outro cateto. Passo 4: O ângulo θ entre AC' e a base é o ângulo entre a hipotenusa e a projeção, então tan θ = altura / projeção = 5/10 = 1/2, logo θ = arctan(1/2) ≈ 26,565°. Passo 5: Conferência: a diagonal espacial mede raiz de (100 + 25) = raiz de 125 ≈ 11,18 cm, e cos θ = 10/11,18 ≈ 0,894, o que é compatível com θ ≈ 26,565°. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (90°) só ocorreria se a diagonal fosse vertical, o que não acontece; a alternativa B (30°) exigiria tan 30° = 5/(5 raiz de 3), que não corresponde às medidas; a alternativa C (45°) exigiria projeção igual a 5 cm, mas a projeção é 10 cm; a alternativa D (60°) exigiria projeção de 5/raiz de 3 cm, incompatível com a base. Passo 7: Conclusão: a alternativa correta é a E, e o gabarito oficial está correto. Observação: na alternativa E, o símbolo '˜' deve ser lido como 'aproximadamente'.
💡 Dica: Calcule a diagonal e use trigonometria para encontrar o ângulo.
Alternativa por alternativa
Imagina que a diagonal espacial é perpendicular à base, como se fosse a própria altura. Assim, confunde o ângulo com a inclinação vertical da aresta lateral.
Associa o ângulo a um valor notável sem calcular, ou usa a relação tan = altura / (lado) com um lado da base incorreto, obtendo tan = 1/raiz de 3.
Supõe que a projeção horizontal da diagonal tem o mesmo comprimento da altura (5 cm), o que levaria a um triângulo isósceles e a 45°. Não usa a diagonal da base de 10 cm.
Calcula a projeção horizontal de forma incorreta, usando uma medida de 5/raiz de 3 cm, ou toma a diagonal espacial como se fosse a projeção e usa uma relação trigonométrica errada.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo formado pela diagonal e a base, aplicando incorretamente a tangente ou o seno.
Projeção da diagonal espacial na base é a diagonal da base = v(8²+6²)=10 cm; tan? = altura / projeção = 5/10 ? ? = arctan(1/2) ˜ 26,565°.
Raio-X da questão
diagonal de paralelepípedo
avaliacao
teorema de pitágoras · trigonometria básica
Revisar as propriedades das diagonais em sólidos geométricos.
O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo formado pela diagonal e a base, aplicando incorretamente a tangente ou o seno.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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