Em um triângulo retângulo, os catetos medem x+2 e x-4 e a hipotenusa mede 10. Determine o valor de x…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo, os catetos medem x+2 e x-4 e a hipotenusa mede 10. Determine o valor de x (apresente forma exata).
- A) x = -1 + v41
- B) x = 3
- C) x = 1 + v41
- D) x = 5
- E) x = 6
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Pelo teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: (x+2)^2 + (x-4)^2 = 10^2. Passo 2: Desenvolva os quadrados: (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 8x + 16) = 100. Passo 3: Reduza os termos semelhantes: 2x^2 - 4x + 20 = 100, ou seja, 2x^2 - 4x - 80 = 0. Passo 4: Divida por 2: x^2 - 2x - 40 = 0. Passo 5: Aplique a fórmula de Bhaskara com a = 1, b = -2 e c = -40: delta = 4 + 160 = 164, e raiz de 164 = 2 raiz de 41. Assim, x = (2 ± 2 raiz de 41) / 2, isto é, x = 1 ± raiz de 41. Passo 6: Como o comprimento de um cateto deve ser positivo, precisamos de x - 4 > 0, isto é, x > 4. A raiz 1 - raiz de 41 é negativa (cerca de -5,4), então é descartada. A raiz 1 + raiz de 41 (cerca de 7,40) satisfaz a condição. Passo 7: Verificação: catetos de cerca de 9,40 e 3,40, com 9,40^2 + 3,40^2 = 88,36 + 11,56 = 99,92, aproximadamente 100. Portanto, a resposta correta é x = 1 + raiz de 41, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial. Passo 8: Por que as outras estão erradas: A tem o sinal do termo independente trocado na fórmula de Bhaskara e não satisfaz a equação; B e D e E não satisfazem a equação de Pitágoras, pois para elas a soma dos quadrados dos catetos não dá 100.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras para resolver a equação.
Alternativa por alternativa
Trocou o sinal ao aplicar Bhaskara: a expressão 1 ± raiz de 41 virou -1 + raiz de 41. O valor obtido não satisfaz a equação, pois com x ≈ 5,40 os catetos seriam 7,40 e 1,40, cuja soma de quadrados é cerca de 56,7, e não 100.
Provavelmente testou valores inteiros pequenos e aceitou x = 3 sem verificar a condição de positividade. Com x = 3, o cateto x - 4 valeria -1, o que é impossível em um triângulo.
Por que engana: Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, não considerando corretamente a relação entre os catetos e a hipotenusa.
Pelo teorema de Pitágoras: (x+2)²+(x-4)²=100 ? 2x²-4x-80=0 ? x²-2x-40=0 ? x=1±v41. Só a positiva x=1+v41 é válida.
Provavelmente errou ao desenvolver os quadrados ou fez uma substituição sem verificar a solução. Com x = 5, os catetos seriam 7 e 1, e 7^2 + 1^2 = 50, diferente de 100.
Confundiu a relação de Pitágoras com a soma dos lados: como (x+2) + (x-4) = 10 resulta em x = 6, aplicou a soma dos catetos igual à hipotenusa. Com x = 6, 8^2 + 2^2 = 68, diferente de 100.
Raio-X da questão
teorema de Pitágoras
avaliacao
teorema de Pitágoras · equações do 1º grau
Revisar o teorema de Pitágoras e resolução de equações.
Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, não considerando corretamente a relação entre os catetos e a hipotenusa.
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pensamento_critico
abstrato
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