Em um triângulo retângulo, os catetos medem x e 2x e a hipotenusa mede 10 cm. Determine os comprimentos dos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo, os catetos medem x e 2x e a hipotenusa mede 10 cm. Determine os comprimentos dos catetos.
- A) Catetos: x = 0 e 2x = 0
- B) Catetos: x = 5 cm e 2x = 10 cm
- C) Catetos: x = 2v5 cm (˜4,472 cm) e 2x = 4v5 cm (˜8,944 cm).
- D) Catetos: x = 6 cm e 2x = 12 cm
- E) Catetos: x = 4 cm e 2x = 8 cm
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. O triângulo é retângulo, com catetos x e 2x e hipotenusa de 10 cm. Pelo Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: x^2 + (2x)^2 = 10^2.
- Desenvolva a equação. (2x)^2 = 4x^2, logo x^2 + 4x^2 = 100, ou seja, 5x^2 = 100.
- Isole x^2. Dividindo por 5, obtemos x^2 = 20. Como x é uma medida positiva, x = raiz de 20 = raiz de (4 x 5) = 2 raiz de 5 cm, aproximadamente 4,472 cm.
- Calcule o outro cateto. 2x = 2 x 2 raiz de 5 = 4 raiz de 5 cm, aproximadamente 8,944 cm.
- Verifique. (2 raiz de 5)^2 + (4 raiz de 5)^2 = 20 + 80 = 100 = 10^2. Os valores satisfazem Pitágoras.
- Conclusão. A alternativa C está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A é impossível, pois um cateto nulo não formaria triângulo. A alternativa B coloca 10 cm como cateto, o que contraria a hipotenusa ser o maior lado. A alternativa D (6 e 12 cm) não satisfaz Pitágoras, pois 36 + 144 = 180 não é 100. A alternativa E (4 e 8 cm) também não satisfaz, pois 16 + 64 = 80 não é 100.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras a x, 2x e 10 cm.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente anulou a equação ao igualar os termos a zero ou dividiu incorretamente, chegando a x = 0. Ele não percebeu que um cateto nulo é impossível num triângulo.
O aluno provavelmente tomou o valor 10 cm da hipotenusa como medida de um cateto, ignorando que a hipotenusa é o maior lado e que a relação de Pitágoras deve ser usada.
Por que engana: O aluno pode usar a hipotenusa como um cateto ou somar os comprimentos dos lados, em vez de relacionar os quadrados dos catetos ao quadrado da hipotenusa.
Pelo teorema de Pitágoras: x²+(2x)²=10² ? 5x²=100 ? x²=20 ? x=±v20. Como são comprimentos, x=2v5 e 2x=4v5.
O aluno provavelmente testou valores aleatórios ou escolheu uma razão 1:2 sem aplicar Pitágoras. Ele não verificou que 6^2 + 12^2 = 180, diferente de 100.
O aluno provavelmente dividiu a hipotenusa por 2 ou usou a proporção de um terno pitagórico sem conferir o resultado. Ele não notou que 4^2 + 8^2 = 80, diferente de 100.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras com incógnita
avaliacao
Teorema de Pitágoras · Resolução de equações quadráticas
Revise o teorema de Pitágoras e a resolução de equações quadráticas simples.
O aluno pode usar a hipotenusa como um cateto ou somar os comprimentos dos lados, em vez de relacionar os quadrados dos catetos ao quadrado da hipotenusa.
tomada_decisao
abstrato
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