Num triângulo retângulo, os catetos medem x+1 e x+3, e a hipotenusa mede 2x+1. Determine x>0.
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo, os catetos medem x+1 e x+3, e a hipotenusa mede 2x+1. Determine x>0.
- A) x = (2 + v22) / 2
- B) x = 3
- C) x = 0
- D) x = 5
- E) x = 1
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Como o triângulo é retângulo, vale o teorema de Pitágoras: (cateto 1)^2 + (cateto 2)^2 = (hipotenusa)^2. Logo, (x+1)^2 + (x+3)^2 = (2x+1)^2. Passo 2: Desenvolva cada quadrado. (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1; (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9; (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1. Passo 3: Some os termos do primeiro membro: 2x^2 + 8x + 10 = 4x^2 + 4x + 1. Passo 4: Passe tudo para um lado: 0 = 2x^2 - 4x - 9, ou seja, 2x^2 - 4x - 9 = 0. Passo 5: Aplique a fórmula de Bhaskara com a = 2, b = -4 e c = -9. O discriminante é Delta = 16 + 72 = 88, cuja raiz quadrada é 2 vezes raiz de 22. Assim x = (4 ± 2 raiz de 22) / 4 = (2 ± raiz de 22) / 2. Passo 6: Como x > 0 e raiz de 22 é maior que 2, a raiz negativa é descartada e x = (2 + raiz de 22) / 2, que é aproximadamente 3,35. Passo 7: Verificação: os catetos medem cerca de 4,35 e 6,35, e a hipotenusa mede cerca de 7,69. Como 4,35^2 + 6,35^2 é aproximadamente 59,2 e 7,69^2 é aproximadamente 59,1, a igualdade se confirma. Conclusão: a alternativa A está correta, de acordo com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B não satisfaz a equação, pois 4^2 + 6^2 = 52 e 7^2 = 49; C é descartada pela condição x > 0 e também não satisfaz a equação; D não satisfaz a equação, pois 6^2 + 8^2 = 100 e 11^2 = 121; E não satisfaz a equação, pois 2^2 + 4^2 = 20 e 3^2 = 9.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras para resolver a equação.
Alternativa por alternativa
Aplicando Pitágoras: (x+1)²+(x+3)²=(2x+1)² ? 2x²+8x+10=4x²+4x+1 ? 2x²-4x-9=0 ? x=(2±v22)/2. Valor positivo: (2+v22)/2.
Testou um valor inteiro sem verificar se ele satisfaz o teorema de Pitágoras. Com x = 3, os catetos são 4 e 6 e a hipotenusa é 7, mas 16 + 36 = 52 não é igual a 49.
Por que engana: Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
Ignorou a condição x > 0 do enunciado e aceitou a raiz nula. Além disso, com x = 0 os catetos seriam 1 e 3 com hipotenusa 1, o que não respeita a desigualdade triangular.
Provavelmente errou ao desenvolver (2x+1)^2 como 4x^2 + 1, esquecendo o termo 4x, ou testou um valor sem verificar. Com x = 5, 6^2 + 8^2 = 100 não é igual a 11^2 = 121.
Acreditou que o menor valor positivo inteiro seria a solução, sem montar nem resolver a equação. Com x = 1, 2^2 + 4^2 = 20 não é igual a 3^2 = 9.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · propriedades do triângulo retângulo
Revisar o teorema de Pitágoras e suas aplicações.
Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
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cientifico
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