(Objetiva, dificuldade 2) Um corpo é lançado verticalmente do equador de um planeta com massa M = 6,00×10^24…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar e representar, com ou sem o uso de dispositivos e de aplicativos digitais específicos, as transformações e conservações em sistemas que envolvam quantidade de matéria, de energia e de movimento para realizar previsões sobre seus comportamentos em situações cotidianas e em processos produtivos que priorizem o desenvolvimento sustentável, o uso consciente dos recursos naturais e a preservação da vida em todas as suas formas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
(Objetiva, dificuldade 2) Um corpo é lançado verticalmente do equador de um planeta com massa M = 6,00×10^24 kg e raio R = 6,37×10^6 m que gira com período de rotação T = 24,0 h. Usando G = 6,67×10^-11 N·m²/kg², calcule a velocidade adicional mínima v_radial que um projétil deve receber (além da velocidade tangencial de rotação) para escapar do campo gravitacional a partir da superfície, supondo lançamento puramente radial.
- A) v_radial = 5,00×10^4 m/s, baseado na velocidade de fuga média.
- B) v_radial = 0,00 m/s, não é necessária velocidade radial.
- C) v_radial = 7,0×10^3 m/s, valor muito baixo para fuga.
- D) v_radial = sqrt(v_e^2 - v_t^2) ˜ 1,12×10^4 m/s (˜11,2 km/s).
- E) v_radial = 1,00×10^5 m/s, muito acima do necessário.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule a velocidade de escape a partir da superficie: v_e = raiz de (2GM/R). Com G = 6,67x10^-11, M = 6,00x10^24 kg e R = 6,37x10^6 m, temos GM = 4,00x10^14 e 2GM/R = 1,26x10^8 (m/s)^2, logo v_e = raiz de 1,26x10^8, aproximadamente 1,12x10^4 m/s (cerca de 11,2 km/s). Passo 2: Calcule a velocidade tangencial devida a rotacao no equador: v_t = 2 pi R / T. Com T = 24,0 h = 86400 s, v_t = 2 pi x 6,37x10^6 / 86400, aproximadamente 463 m/s. Passo 3: Como o lancamento e puramente radial, a velocidade radial e a tangencial sao perpendiculares. Para que a velocidade total atinja v_e, vale v_e^2 = v_radial^2 + v_t^2, portanto v_radial = raiz de (v_e^2 - v_t^2). Como v_t^2 (cerca de 2,1x10^5) e muito menor que v_e^2 (cerca de 1,26x10^8), o resultado fica praticamente igual a v_e: aproximadamente 1,12x10^4 m/s. Passo 4: Conclusao: a alternativa D e a correta, e o gabarito oficial esta correto. A alternativa A esta errada porque 5,00x10^4 m/s nao e a velocidade de escape deste planeta, que e cerca de 11,2 km/s. A alternativa B esta errada porque a rotacao contribui pouco (cerca de 463 m/s) e nao elimina a necessidade de velocidade radial. A alternativa C esta errada porque 7,0x10^3 m/s esta proximo da velocidade orbital (raiz de GM/R, cerca de 7,9 km/s), que e insuficiente para escapar. A alternativa E esta errada porque 1,00x10^5 m/s e cerca de dez vezes maior que o necessario.
💡 Dica: Calcule a velocidade de escape considerando a gravidade e a velocidade tangencial.
Alternativa por alternativa
Acredita que a velocidade de fuga pode ser estimada por um valor medio arbitrario, sem calcular a partir de G, M e R.
Supoe que a rotacao do planeta, por ser 'gratuita', dispensa qualquer velocidade adicional para escapar, ignorando que a energia necessaria depende da velocidade total de lancamento.
Confunde a velocidade de fuga com a velocidade orbital (raiz de GM/R, cerca de 7,9 km/s), que e a velocidade para permanecer em orbita circular e nao para escapar.
Por que engana: Confundir a velocidade radial necessária com a velocidade tangencial de rotação do planeta, subestimando a velocidade de escape.
Velocidade de escape v_e = sqrt(2GM/R). A rotação dá velocidade tangencial v_t=?R com ?=2p/T; a energia inicial já inclui v_t, portanto a componente radial adicional satisfaz v_radial^2+v_t^2=v_e^2.
Erra a ordem de grandeza no calculo da raiz (por exemplo, trata 1,26x10^8 como 10^10 ou troca a potencia de 10 na raiz), chegando a 1,00x10^5 m/s.
Raio-X da questão
velocidade de escape
avaliacao
velocidade de escape · velocidade tangencial
Revisar a fórmula da velocidade de escape e a gravidade em planetas.
Confundir a velocidade radial necessária com a velocidade tangencial de rotação do planeta, subestimando a velocidade de escape.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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