Num triângulo retângulo, os catetos medem 5k e 12k e a hipotenusa mede 13k. Se o perímetro é 34 cm, determine…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo, os catetos medem 5k e 12k e a hipotenusa mede 13k. Se o perímetro é 34 cm, determine as medidas dos catetos.
- A) Catetos: 5 cm e 12 cm
- B) Catetos: 10 cm e 20 cm
- C) Catetos: 17/3 cm e 68/5 cm
- D) Catetos: 15 cm e 18 cm
- E) Catetos: 4 cm e 14 cm
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Os lados do triângulo são 5k (cateto), 12k (cateto) e 13k (hipotenusa), com k um fator de proporcionalidade desconhecido. Antes de usar o perímetro, confirmo que a terna é pitagórica: (5k)^2 + (12k)^2 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2 = (13k)^2. Logo, a proporção está correta. Passo 2: O perímetro é a soma dos três lados: 5k + 12k + 13k = 30k. Como o perímetro vale 34 cm, temos 30k = 34, o que dá k = 34/30 = 17/15. Passo 3: Calculo os catetos com esse valor de k. O primeiro cateto mede 5 x 17/15 = 85/15 = 17/3 cm. O segundo mede 12 x 17/15 = 204/15 = 68/5 cm. Passo 4: Verificação: 17/3 + 68/5 + 13 x 17/15 = 85/15 + 204/15 + 221/15 = 510/15 = 34 cm, que confere com o perímetro dado. Passo 5: A alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A ignora o perímetro e usa k = 1, mas então o perímetro seria 30 cm; B usa uma razão 1:2 entre os catetos, que não corresponde à razão 5:12; D tem razão 5:6 entre os catetos, incompatível com 5:12; E tem razão 2:7 entre os catetos, também incompatível com 5:12 e com a relação pitagórica.
💡 Dica: Some os coeficientes dos lados para formar o perímetro e determine k.
Alternativa por alternativa
O aluno usa os números 5 e 12 diretamente como medidas em centímetros, como se k valesse 1, e ignora que o perímetro de 34 cm deve ser usado para determinar k. Com k = 1 o perímetro seria 30 cm, e não 34 cm.
Por que engana: O aluno pode somar apenas os catetos ou interpretar 34 cm como a medida de um lado, obtendo um valor incorreto para k e para os catetos.
O aluno parece ter escolhido valores que aparentam proporção simples, sem respeitar a razão 5:12 entre os catetos. Os valores 10 e 20 estão na razão 1:2, e não 5:12.
Perímetro: 5k+12k+13k=30k=34 ? k=34/30=17/15. Logo 5k=85/15=17/3 cm e 12k=204/15=68/5 cm.
O aluno parece montar os catetos com uma razão próxima de 5:6, em vez de 5:12. Não percebe que os catetos devem manter exatamente a proporção dada pelos coeficientes 5 e 12.
O aluno escolhe valores sem relação com a proporção 5:12, aparentando um chute. A razão 4:14 (2:7) não respeita os coeficientes do enunciado nem a relação pitagórica.
Raio-X da questão
Perímetro de triângulo retângulo
diagnostico
Perímetro de polígonos · Equação do primeiro grau
Revise a soma das medidas dos lados e a resolução de equações simples.
O aluno pode somar apenas os catetos ou interpretar 34 cm como a medida de um lado, obtendo um valor incorreto para k e para os catetos.
tomada_decisao
abstrato
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