Determine todos os inteiros x tais que os comprimentos x, x+1 e x+2 possam ser os lados de um triângulo…

Questão

Determine todos os inteiros x tais que os comprimentos x, x+1 e x+2 possam ser os lados de um triângulo retângulo. Apresente todos os passos do raciocínio.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

O maior dos três lados é x+2, portanto aplique Pitágoras: x² + (x+1)² = (x+2)². Expanda: x² + x²+2x+1 = x²+4x+4 ? simplificando: x² -2x -3 = 0. Resolva a quadrática: (x-3)(x+1)=0 ? x = 3 ou x = -1. Descartando x negativo (comprimento > 0), fica x = 3. Assim os lados são 3, 4 e 5, que formam um triângulo retângulo.

Explicação

A aplicação do Teorema de Pitágoras permite verificar a relação entre os lados de um triângulo retângulo, onde o quadrado do maior lado deve ser igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. A resolução da equação quadrática resultante leva a duas soluções, mas apenas a positiva é válida para comprimentos de lados. Assim, ao encontrar x = 3, os lados 3, 4 e 5 confirmam a formação de um triângulo retângulo.

Raio-X da questão

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