Em um triângulo retângulo ABC, reto em C, os catetos medem x+1 e 2x-1 e a hipotenusa mede 2x+3. Determine x>0…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo ABC, reto em C, os catetos medem x+1 e 2x-1 e a hipotenusa mede 2x+3. Determine x>0 sabendo que (x+1)²+(2x-1)²=(2x+3)².
- A) x = 0
- B) x = 3
- C) x = 7 + 2v14 (única solução positiva).
- D) x = 5
- E) x = 10
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Desenvolva os quadrados. (x+1)^2 = x^2+2x+1 e (2x-1)^2 = 4x^2-4x+1, de modo que o lado esquerdo fica 5x^2-2x+2. O lado direito, (2x+3)^2, fica 4x^2+12x+9.
- Iguale os dois lados e passe tudo para um lado: 5x^2-2x+2 = 4x^2+12x+9, logo x^2-14x-7 = 0.
- Aplique Bhaskara com a=1, b=-14 e c=-7. O discriminante é Delta = 196+28 = 224 = 16 vezes 14, então a raiz quadrada de Delta é 4 vezes raiz de 14. Assim x = (14 ± 4 vezes raiz de 14)/2 = 7 ± 2 vezes raiz de 14.
- Analise o sinal. Como raiz de 14 é cerca de 3,74, temos 7 - 2 vezes raiz de 14 ≈ -0,48 (negativo, descartado) e 7 + 2 vezes raiz de 14 ≈ 14,48 (positivo). Portanto a única solução com x > 0 é x = 7 + 2 vezes raiz de 14.
- Confira a coerência com o triângulo. Para x ≈ 14,48, os catetos medem cerca de 15,48 e 27,97 e a hipotenusa mede cerca de 31,97. Como 15,48^2 + 27,97^2 ≈ 239,6 + 782,3 ≈ 1021,9 e 31,97^2 ≈ 1022,1, a igualdade se confirma aproximadamente, dentro do arredondamento.
- Comparação com o gabarito. O gabarito oficial é C, que coincide com a resolução obtida. As demais alternativas não satisfazem a equação: x = 0 dá 2 em vez de 9 no lado esquerdo; x = 3 dá 41 em vez de 81; x = 5 dá 117 em vez de 169; e x = 10 dá 482 em vez de 529. Nenhuma delas é raiz da equação.
💡 Dica: Resolva a equação utilizando a fórmula de Bhaskara.
Alternativa por alternativa
Concluiu que x = 0 é raiz, provavelmente por ter anulado termos ao expandir os quadrados ou por ter confundido a condição x > 0 com a própria solução.
Testou valores inteiros na equação, em vez de resolvê-la, e tomou x = 3 como solução sem verificar a igualdade (4^2+5^2 = 41, diferente de 9^2 = 81).
Por que engana: Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, não considerando corretamente os lados do triângulo.
Expandindo: (x+1)²+(2x-1)²=(2x+3)² ? 5x²-2x+2 = 4x²+12x+9 ? x²-14x-7=0. Solução: x = (14 ± v224)/2 = 7 ± 2v14; aceita-se o positivo 7+2v14.
Procurou uma raiz inteira por tentativa e parou em x = 5, sem substituir na equação (6^2+9^2 = 117, diferente de 13^2 = 169), possivelmente por supor que a resposta deveria ser um número redondo.
Supôs que a solução seria um número inteiro grande e escolheu x = 10 sem conferir (11^2+19^2 = 482, diferente de 23^2 = 529); também pode ter cometido erro de sinal ao passar termos para o mesmo lado.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · equações do 2º grau
Revisar o teorema de Pitágoras e resolução de equações quadráticas.
Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, não considerando corretamente os lados do triângulo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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