Um satélite descreve uma órbita elíptica ao redor da Terra com periastro r_p = R + 500 km e apoastro r_a = R +…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Comunicar, para públicos variados, em diversos contextos, resultados de análises, pesquisas e/ou experimentos, elaborando e/ou interpretando textos, gráficos, tabelas, símbolos, códigos, sistemas de classificação e equações, por meio de diferentes linguagens, mídias, tecnologias digitais de informação e comunicação (TDIC), de modo a participar e/ou promover debates em torno de temas científicos e/ou tecnológicos de relevância sociocultural e ambiental.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um satélite descreve uma órbita elíptica ao redor da Terra com periastro r_p = R + 500 km e apoastro r_a = R + 5000 km, onde R = 6,37×10^6 m. Calcule a velocidade no periastro v_p usando a equação de vis-viva v^2 = GM(2/r - 1/a). Use GM = 3,986×10^14 m³/s². Resultado em m/s.
- A) v_p = 6,00×10^3 m/s
- B) v_p = 1,20×10^4 m/s
- C) v_p = 8,00×10^3 m/s
- D) v_p = 8,50×10^3 m/s
- E) v_p = 4,50×10^3 m/s
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule os raios reais a partir do centro da Terra. r_p = R + 500 km = 6,37×10^6 + 0,5×10^6 = 6,87×10^6 m. r_a = R + 5000 km = 6,37×10^6 + 5,0×10^6 = 11,37×10^6 m. Passo 2: Calcule o semi-eixo maior, que é a média dos dois raios: a = (r_p + r_a)/2 = (6,87×10^6 + 11,37×10^6)/2 = 9,12×10^6 m. Passo 3: Aplique a equação de vis-viva no periastro: v_p^2 = GM(2/r_p - 1/a). Calcule 2/r_p = 2/6,87×10^6 ≈ 2,911×10^-7 e 1/a = 1/9,12×10^6 ≈ 1,096×10^-7. A diferença é ≈ 1,815×10^-7 m^-1. Passo 4: Multiplique por GM: v_p^2 = 3,986×10^14 × 1,815×10^-7 ≈ 7,23×10^7 m²/s². Passo 5: Extraia a raiz: v_p = raiz de 7,23×10^7 ≈ 8,50×10^3 m/s. Esse valor corresponde à alternativa D, que é o gabarito oficial, então a resolução confirma o gabarito. Por que as outras estão erradas: A (6,00×10^3) resulta de um erro no cálculo do semi-eixo ou da diferença dos termos; B (1,20×10^4) é alto demais, pois o valor real está próximo de 8,5×10^3; C (8,00×10^3) é próximo da velocidade circular em r_p, que vale cerca de 7,6×10^3 m/s, e não corresponde à órbita elíptica; E (4,50×10^3) é próximo da velocidade no apoastro, que vale cerca de 5,1×10^3 m/s, e indica que a alternativa troca o ponto da órbita.
💡 Dica: Aplique a equação de vis-viva com os valores dados.
Alternativa por alternativa
Provavelmente errou o cálculo do semi-eixo maior ou a diferença entre os termos 2/r e 1/a, chegando a um valor de v^2 menor que o correto.
Provavelmente calculou mal a diferença entre 2/r_p e 1/a, ou errou a raiz quadrada, obtendo uma velocidade exagerada para a órbita.
Provavelmente aproximou o resultado pela velocidade de uma órbita circular no periastro (cerca de 7,6×10^3 m/s), ignorando que a órbita é elíptica e que a velocidade varia ao longo dela.
Por que engana: Confundir os valores de periastro e apoastro ao aplicar a equação de vis-viva, resultando em um cálculo incorreto da velocidade.
r_p=6,87×10^6 m, r_a=1,137×10^7 m, a=(r_p+r_a)/2=9,12×10^6 m. v_p = sqrt(3,986×10^14(2/6,87×10^6-1/9,12×10^6)) ˜8,504 m/s ˜8,50×10^3 m/s.
Provavelmente confundiu o periastro com o apoastro, usando a velocidade no ponto mais distante (cerca de 5,1×10^3 m/s) ou misturou unidades de quilômetros e metros.
Raio-X da questão
velocidade no periastro
avaliacao
equação de vis-viva · órbitas elípticas
Revisar a equação de vis-viva e suas aplicações em órbitas.
Confundir os valores de periastro e apoastro ao aplicar a equação de vis-viva, resultando em um cálculo incorreto da velocidade.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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