Quantos pares de inteiros positivos (a,b) com 1 = a < b = 20 têm hipotenusa inteira, isto é, v(a²+b²) ? Z?…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Quantos pares de inteiros positivos (a,b) com 1 = a < b = 20 têm hipotenusa inteira, isto é, v(a²+b²) ? Z? Liste os pares.
- A) 6 pares
- B) 3 pares
- C) 5 pares
- D) 10 pares
- E) 7 pares: (3,4),(5,12),(6,8),(8,15),(9,12),(12,16),(15,20)
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Queremos pares (a,b) com 1 <= a < b <= 20 tais que a^2+b^2 seja um quadrado perfeito, ou seja, que (a,b,c) seja uma terna pitagórica com c inteiro. Os catetos a e b devem ser ambos menores ou iguais a 20; a hipotenusa não tem limite pelo enunciado. Passo 2: Ternas primitivas (sem fator comum) com algum cateto de até 20 são: (3,4,5), (5,12,13) e (8,15,17). Os próximos casos primitivos, como (7,24,25) e (20,21,29), já têm um cateto acima de 20 e ficam de fora. Passo 3: Os múltiplos dessas ternas também servem, desde que os catetos continuem <= 20. Da terna (3,4,5) saem (6,8,10), (9,12,15), (12,16,20) e (15,20,25), que geram os pares (6,8), (9,12), (12,16) e (15,20). Da terna (5,12,13), o múltiplo seguinte (10,24,26) tem cateto 24, fora do limite. Da terna (8,15,17), o múltiplo (16,30,34) também fica fora. Passo 4: Juntando tudo, temos os pares (3,4), (5,12), (8,15), (6,8), (9,12), (12,16) e (15,20), totalizando 7 pares. Passo 5: Conferindo com as alternativas, a alternativa E lista exatamente esses 7 pares, então o gabarito está correto. A alternativa A (6 pares) está errada porque falta um dos pares, e a B (3 pares) está errada porque considera só as ternas primitivas. A alternativa C (5 pares) está errada porque deixa de fora alguns múltiplos. A alternativa D (10 pares) está errada porque superconta pares que não geram hipotenusa inteira.
💡 Dica: Verifique a condição de Pitágoras para cada par (a,b).
Alternativa por alternativa
Provavelmente limitou a hipotenusa a 20 em vez de limitar os catetos, o que deixa de fora pares como (12,16) ou (15,20), ou esqueceu um dos múltiplos da terna 3-4-5.
Considerou apenas as ternas pitagóricas primitivas (3,4,5), (5,12,13) e (8,15,17), achando que múltiplos como (6,8) ou (9,12) não contam como pares válidos.
Listou alguns múltiplos das ternas, mas esqueceu de pelo menos dois deles, como (9,12) ou (15,20), ao enumerar os casos sem método sistemático.
Por que engana: O aluno pode confundir a contagem de pares, incluindo combinações que não satisfazem a condição de hipotenusa inteira.
Superconta pares, possivelmente incluindo combinações em que a^2+b^2 não é quadrado perfeito ou contando ordens diferentes do mesmo par, sem verificar a condição da hipotenusa inteira para cada caso.
Enumerando triplas pitagóricas e seus múltiplos com ambos os catetos =20 obtêm-se esses 7 pares (múltiplos de (3,4,5), (5,12,13) e (8,15,17)).
Raio-X da questão
teorema de Pitágoras
avaliacao
teorema de Pitágoras · números inteiros positivos
Revisar o teorema de Pitágoras e a identificação de pares pitagóricos.
O aluno pode confundir a contagem de pares, incluindo combinações que não satisfazem a condição de hipotenusa inteira.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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