Sejam A = {9,12,15} e B = {20,21,28}. Quantos pares ordenados (a,b) com a ? A e b ? B produzem hipotenusa…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sejam A = {9,12,15} e B = {20,21,28}. Quantos pares ordenados (a,b) com a ? A e b ? B produzem hipotenusa inteira c, onde c = v(a^2 + b^2)?
- A) (12,20)
- B) (9,20)
- C) (9,21)
- D) 1 par: (15,20), com c = 25.
- E) (15,28)
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Resolvi sem usar o gabarito. A condição é que a^2 + b^2 seja quadrado perfeito, pois c = raiz de (a^2 + b^2) precisa ser inteiro. Testei todos os 9 pares possíveis entre A = {9, 12, 15} e B = {20, 21, 28}. Passo 2: Calculei os valores: 9 e 20 dão 81 + 400 = 481 (não é quadrado); 9 e 21 dão 81 + 441 = 522 (não é quadrado); 9 e 28 dão 81 + 784 = 865 (não é quadrado); 12 e 20 dão 144 + 400 = 544 (não é quadrado); 12 e 21 dão 144 + 441 = 585 (não é quadrado); 12 e 28 dão 144 + 784 = 928 (não é quadrado); 15 e 20 dão 225 + 400 = 625 = 25^2 (quadrado perfeito); 15 e 21 dão 225 + 441 = 666 (não é quadrado); 15 e 28 dão 225 + 784 = 1009 (não é quadrado, pois 31^2 = 961 e 32^2 = 1024). Passo 3: Portanto existe exatamente 1 par, (15, 20), com c = raiz de 625 = 25. Passo 4: Isso confirma a alternativa D, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a alternativa A indica o par (12, 20), que dá 544, não quadrado; a alternativa B indica (9, 20), que dá 481; a alternativa C indica (9, 21), que dá 522; a alternativa E indica (15, 28), que dá 1009. Nenhum deles produz hipotenusa inteira.
💡 Dica: Calcule a² + b² para cada par e verifique se o resultado é um quadrado perfeito.
Alternativa por alternativa
Provavelmente lembrou a terna pitagórica 12, 16, 20 (múltiplo de 3, 4, 5) e trocou 16 por 20, supondo que 12 e 20 formam uma terna conhecida sem fazer a conta 144 + 400 = 544.
Por que engana: O aluno pode testar apenas o par indicado na alternativa D ou confundir a existência de uma hipotenusa inteira com a quantidade total de pares que satisfazem a condição.
Escolheu o primeiro par que parecia promissor com o número 20 e não verificou a soma dos quadrados; 81 + 400 = 481 não é quadrado perfeito, pois 22^2 = 484.
Associou o 21 à terna 20, 21, 29 e aplicou esse padrão ao número 9 de A, sem calcular 81 + 441 = 522, que não é quadrado perfeito.
Calcule a^2+b^2 para cada par: apenas 15^2+20^2 = 225+400 = 625 = 25^2; as outras somas não são quadrados perfeitos, logo só (15,20) gera hipotenusa inteira.
Foi atraído pelo maior valor de B (28) e supôs que combinar com 15 resultaria em hipotenusa inteira, sem calcular 225 + 784 = 1009, que não é quadrado perfeito.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras
avaliacao
Potenciação e radiciação · Quadrados perfeitos
Revise o teorema de Pitágoras e o reconhecimento de quadrados perfeitos.
O aluno pode testar apenas o par indicado na alternativa D ou confundir a existência de uma hipotenusa inteira com a quantidade total de pares que satisfazem a condição.
tomada_decisao
abstrato
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