Escolhe-se um cateto a do conjunto A = {6, 8, 9} e outro cateto b do conjunto B = {10, 12, 15}. Quantos pares…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Escolhe-se um cateto a do conjunto A = {6, 8, 9} e outro cateto b do conjunto B = {10, 12, 15}. Quantos pares (a, b) formam um triângulo retângulo com hipotenusa de medida inteira, isto é, com v(a² + b²) inteiro?
- A) 1 par, pois apenas (6, 10) é válido.
- B) 2 pares: (8, 15) e (9, 12).
- C) 4 pares, pois basta que a e b sejam múltiplos de 3.
- D) 9 pares, pois todas as combinações formam triângulos com hipotenusa inteira.
- E) 3 pares: (6, 12), (8, 15) e (9, 12).
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A hipotenusa é v(a^2 + b^2), e ela é inteira quando a^2 + b^2 é um quadrado perfeito. Basta testar os 9 pares possíveis, a em {6, 8, 9} e b em {10, 12, 15}.
- Calculando os somas de quadrados: (6,10) dá 136; (6,12) dá 180; (6,15) dá 261; (8,10) dá 164; (8,12) dá 208; (8,15) dá 289; (9,10) dá 181; (9,12) dá 225; (9,15) dá 306.
- Dos resultados, são quadrados perfeitos apenas 289 = 17^2 e 225 = 15^2. Logo, os pares válidos são (8,15) e (9,12), totalizando 2 pares.
- A alternativa B está correta e coincide com o gabarito oficial.
- A alternativa A está errada, pois (6,10) gera 136, que não é quadrado perfeito.
- A alternativa C está errada, pois ser múltiplo de 3 não garante que a soma dos quadrados seja quadrado perfeito; (6,12) gera 180 e (6,15) gera 261.
- A alternativa D está errada, pois a grande maioria dos pares não gera hipotenusa inteira.
- A alternativa E está errada, pois inclui (6,12), que gera 180, não quadrado perfeito; os outros dois pares da lista estão corretos.
💡 Dica: Teste as nove combinações usando o teorema de Pitágoras e identifique quais somas de quadrados têm raiz inteira.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente reconheceu a terna pitagórica 6, 8, 10 e, por confusão, tomou 6 e 10 como os catetos, sem verificar a soma 36 + 100 = 136 e que 136 não é quadrado perfeito.
√(8² + 15²) = √289 = 17 e √(9² + 12²) = √225 = 15; as outras 7 combinações não dão raiz inteira.
O aluno acredita que basta a e b serem múltiplos de 3 para que a hipotenusa seja inteira, confundindo divisibilidade com a propriedade de a soma dos quadrados ser um quadrado perfeito.
O aluno supõe que qualquer soma de quadrados resulta em quadrado perfeito, ou seja, não verifica o cálculo de cada combinação e assume que todas geram hipotenusa inteira.
O aluno inclui (6,12) por erro de cálculo ou verificação: 36 + 144 = 180, que não é quadrado perfeito, mas foi considerado válido.
Por que engana: O aluno pode considerar válida uma combinação apenas porque os catetos têm fatores comuns, sem verificar se a soma de seus quadrados é um quadrado perfeito.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras e ternas
avaliacao
Teorema de Pitágoras · Potenciação e radiciação
Revise o teorema de Pitágoras e as ternas pitagóricas para verificar quando a hipotenusa é inteira.
O aluno pode considerar válida uma combinação apenas porque os catetos têm fatores comuns, sem verificar se a soma de seus quadrados é um quadrado perfeito.
tomada_decisao
abstrato
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