Quantos triângulos retângulos com lados inteiros a<b<c satisfazem c = 20? Liste-os (pares ordenados a,b,c).
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Quantos triângulos retângulos com lados inteiros a<b<c satisfazem c = 20? Liste-os (pares ordenados a,b,c).
- A) Os triângulos são: (1,2,3).
- B) Os triângulos são: (2,2,4).
- C) Existem 10 triângulos retângulos.
- D) Existem 2 triângulos retângulos.
- E) Existe 1 triângulo retângulo: (12,16,20).
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Como c = 20 é a hipotenusa, a condição é a^2 + b^2 = 20^2 = 400, com inteiros positivos e a < b < 20. Passo 2: Testamos os valores de a de 1 até 19 e verificamos se 400 - a^2 é um quadrado perfeito. Para a = 1, 2, ..., 11 não há quadrado perfeito (por exemplo, 400 - 1 = 399 e 400 - 4 = 396 não são quadrados). Para a = 12, temos 400 - 144 = 256 = 16^2, então b = 16. Passo 3: Para a = 13 a 15, os valores 231, 204 e 175 não são quadrados. Para a = 16 a 19 obtemos b = 12, 9, 6 e 3, que violam a < b. Passo 4: Conclusão: o único triângulo é (12, 16, 20), que confirma a alternativa E. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A) (1, 2, 3) não satisfaz a^2 + b^2 = c^2 (1 + 4 = 5 e 3^2 = 9) e nem tem c = 20. B) (2, 2, 4) é degenerado, pois 2 + 2 = 4, e não satisfaz a < b. C) Não existem 10 triângulos, pois só há um par (a, b) com a < b. D) Não existem 2 triângulos, pois o segundo par encontrado, (16, 12), viola a < b e representa o mesmo triângulo. Gabarito oficial confirmado.
💡 Dica: Use o teorema de Pitágoras e teste pares inteiros com a²+b²=400.
Alternativa por alternativa
Confunde 'triângulo retângulo com lados inteiros' com qualquer terna pequena de inteiros e não verifica a condição c = 20 nem o teorema de Pitágoras, já que 1^2 + 2^2 não é 3^2.
Acha que a soma de dois lados iguais formando o terceiro lado basta para ser triângulo retângulo, sem checar a desigualdade triangular estrita nem o teorema de Pitágoras (2^2 + 2^2 = 8, não 16).
Supõe que, por haver vários valores de a e b testados, deve haver muitas soluções, ou conta pares em que a e b estão trocados ou que não satisfazem a^2 + b^2 = 400, sem fazer a verificação de Pitágoras com a < b.
Conta o par (12, 16) e também o par (16, 12) como triângulos diferentes, ignorando que a < b impõe uma única ordem e que é o mesmo triângulo; ou acha que há um segundo triângulo sem testar todos os valores.
Por que engana: O aluno pode verificar apenas que (12,16,20) satisfaz o teorema de Pitágoras, sem demonstrar que não existem outras combinações inteiras com hipotenusa 20.
Como 12² + 16² = 20², (12,16,20) é um triângulo retângulo. É a única solução com hipotenusa 20.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras em inteiros
avaliacao
Teorema de Pitágoras · Quadrados e raízes quadradas
Revise o teorema de Pitágoras e a identificação de ternas pitagóricas com hipotenusa fixa.
O aluno pode verificar apenas que (12,16,20) satisfaz o teorema de Pitágoras, sem demonstrar que não existem outras combinações inteiras com hipotenusa 20.
tomada_decisao
abstrato
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