Duas retas paralelas r e s são cortadas por duas secantes que se cruzam em P. Nas intersecções com r obtém-se…

Questão

Duas retas paralelas r e s são cortadas por duas secantes que se cruzam em P. Nas intersecções com r obtém-se os pontos A e B (A mais próximo de P) com AB = 8 m; nas intersecções com s obtém-se C e D (C mais próximo de P) com CD = 20 m. Seja X um ponto em r entre A e B tal que AX = 3 m. Determine, justificando, o comprimento de CY, onde Y é o ponto em s correspondente a X, ou seja, o ponto em s que pertence à mesma secante que passa por X.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como as duas secantes se cruzam em P, os triângulos formados por P, os pontos em r e os pontos correspondentes em s são semelhantes. Os segmentos entre as interseções nas retas paralelas mantêm razão constante: CD/AB = PY/PX = CY/AX. Assim, a escala entre s e r é k = CD/AB = 20/8 = 5/2 = 2,5. O segmento correspondente CY = k·AX = 2,5·3 m = 7,5 m. Portanto, CY = 7,5 m. (Justifique explicitando a semelhança dos triângulos P A X ~ P C Y e a igualdade das razões dos lados correspondentes.)

Explicação

A semelhança dos triângulos formados pelas secantes e as retas paralelas garante que as razões dos lados correspondentes são iguais. A razão entre os segmentos nas retas paralelas (CD e AB) determina a escala entre os segmentos correspondentes nas secantes, permitindo calcular CY a partir de AX. Assim, ao aplicar a razão encontrada, obtém-se o comprimento de CY de forma precisa.

Raio-X da questão

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