Num triângulo retângulo com hipotenusa AB = 13 cm, a altura trazida à hipotenusa divide AB em AD = 4 cm e DB =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo com hipotenusa AB = 13 cm, a altura trazida à hipotenusa divide AB em AD = 4 cm e DB = 9 cm. Calcule os catetos AC e BC (expresse em forma radical).
- A) AC = 3 cm
- B) AC = 5v13 cm
- C) AC = 10 cm
- D) AC = v(13·4) = 2v13 cm; BC = v(13·9) = 3v13 cm
- E) AC = 4 cm
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo. Como AB é a hipotenusa e CD é a altura relativa a ela, o triângulo é retângulo em C, e D é o pé da altura sobre AB, com AD = 4 cm e DB = 9 cm.
- Use a relação do cateto com a projeção: o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre ela. Logo AC^2 = AB · AD = 13 · 4 = 52, e AC = raiz de 52 = 2 raiz de 13 cm.
- Para o outro cateto, BC^2 = AB · DB = 13 · 9 = 117, e BC = raiz de 117 = 3 raiz de 13 cm.
- Verifique pelo teorema de Pitágoras: AC^2 + BC^2 = 52 + 117 = 169 = 13^2 = AB^2. Confere.
- Por que as outras estão erradas: A) 3 cm é a raiz de DB, e não o cateto; B) 5 raiz de 13 daria quadrado 325, valor incompatível com AB^2 = 169 e com as projeções; C) 10 cm não respeita as projeções nem Pitágoras, pois 10^2 + BC^2 não fecharia com 169; E) 4 cm é a projeção AD, e não o cateto AC.
- Gabarito D está correto, pois os valores 2 raiz de 13 e 3 raiz de 13 satisfazem as duas relações métricas e o teorema de Pitágoras.
💡 Dica: Utilize o Teorema de Pitágoras para encontrar os catetos.
Alternativa por alternativa
O aluno extraiu a raiz quadrada de DB = 9 e tomou o resultado 3 como cateto, sem usar a relação entre cateto, hipotenusa e projeção.
O aluno multiplicou a hipotenusa 13 por um fator quadrado (25) sem base nas projeções AD e DB, aplicando a raiz de forma arbitrária.
Por que engana: Confundir a relação entre os catetos e a hipotenusa, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
O aluno chutou um valor inteiro e arredondado, achando que o cateto precisaria ser um número inteiro, sem aplicar as relações métricas do triângulo retângulo.
Pela semelhança, cateto adjacente a AD satisfaz AC² = AB·AD e o outro BC² = AB·DB: AC² = 52 ? AC = 2v13; BC² = 117 ? BC = 3v13.
O aluno confundiu o segmento AD, que é a projeção do cateto sobre a hipotenusa, com o próprio cateto AC.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · propriedades do triângulo retângulo
Revisar o Teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos retângulos.
Confundir a relação entre os catetos e a hipotenusa, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
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pensamento_critico
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