Em um experimento de comunicação, um satélite em órbita baixa transmite micro-impulsos periódicos. O intervalo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um experimento de comunicação, um satélite em órbita baixa transmite micro-impulsos periódicos. O intervalo entre dois pulsos medido por um relógio que acompanha o satélite é o período próprio t0 = 2,00 × 10?? s. O satélite desloca-se com velocidade v = 7,80 × 10³ m/s em relação à Terra. Para analisar apenas os efeitos da relatividade especial, o detector terrestre é posicionado de modo que sejam desprezados efeitos de Doppler associados à direção do movimento. Considere a velocidade da luz c = 3,0 × 108 m/s. Com base no texto, considerando a dilatação do tempo, qual é a frequência dos micro-impulsos medida na Terra e qual é a queda absoluta dessa frequência em relação à frequência própria do satélite?
- A) A frequência medida na Terra é aproximadamente 4,999935 × 10⁸ Hz, e a queda absoluta é aproximadamente 6,50 × 10³ Hz.
- B) A frequência medida na Terra é aproximadamente 5,0000000017 × 10⁸ Hz, e a queda absoluta é −0,17 Hz.
- C) A frequência medida na Terra é 5,00 × 10⁸ Hz, e a queda absoluta é 0 Hz.
- D) A frequência medida na Terra é aproximadamente 4,9999999966 × 10⁸ Hz, e a queda absoluta é aproximadamente 0,34 Hz.
- E) A frequência medida na Terra é aproximadamente 4,9999999983 × 10⁸ Hz, e a queda absoluta é aproximadamente 0,17 Hz.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. O período próprio é t0 = 2,00 × 10^-9 s (o expoente aparece truncado no enunciado, mas só o valor -9 gera a frequência própria de 5,00 × 10^8 Hz das alternativas). A velocidade é v = 7,80 × 10^3 m/s e c = 3,0 × 10^8 m/s. Como os efeitos Doppler são desprezados, resta apenas a dilatação temporal.
- Calcule a frequência própria do satélite. f0 = 1/t0 = 1/(2,00 × 10^-9) = 5,00 × 10^8 Hz.
- Na dilatação do tempo, o intervalo medido na Terra é t = gama × t0, com gama = 1/raiz(1 - v²/c²). Logo, a frequência medida na Terra é f = f0 × raiz(1 - v²/c²), ou seja, menor que f0.
- Calcule v²/c². Temos v²/c² = (7,80 × 10^3)² / (3,0 × 10^8)² = 6,084 × 10^7 / 9,0 × 10^16 = 6,76 × 10^-10.
- Como v²/c² é muito pequeno, use a aproximação raiz(1 - x) ≈ 1 - x/2. Então f ≈ f0 × (1 - 3,38 × 10^-10) = 5,00 × 10^8 - 5,00 × 10^8 × 3,38 × 10^-10 = 5,00 × 10^8 - 0,169 Hz. Assim, f ≈ 4,9999999983 × 10^8 Hz.
- A queda absoluta é f0 - f = 0,169 Hz, aproximadamente 0,17 Hz. A alternativa correta é a E.
- Por que as outras estão erradas. A usa uma correção linear em v/c, típica do Doppler clássico, e ainda esquece o fator 1/2. B inverte o fator de Lorentz, multiplicando em vez de dividir, e por isso a frequência parece maior que a própria. C ignora a dilatação do tempo, o que contraria o enunciado. D usa 1 - v²/c² sem a raiz e sem o fator 1/2, dobrando a queda para cerca de 0,34 Hz.
💡 Dica: Calcule a frequência usando a fórmula da dilatação do tempo.
Alternativa por alternativa
Aplicou uma correção linear em v/c, como no efeito Doppler clássico, e esqueceu o fator 1/2 da expansão, obtendo uma queda de cerca de 6,5 × 10^3 Hz.
Inverteu a relação da dilatação, multiplicando a frequência pelo fator de Lorentz em vez de dividir, o que faria a frequência na Terra ser maior que a própria, e registrou o sinal como negativo.
Por que engana: Confundir a relação entre frequência e período, acreditando que são independentes quando na verdade estão interligados.
Concluiu que, por se desprezarem os efeitos Doppler, não há efeito relativístico algum, ignorando a dilatação do tempo.
Usou a aproximação 1 - v²/c² sem a raiz quadrada e sem o fator 1/2, o que dobra a variação e leva a uma queda de cerca de 0,34 Hz.
A frequência própria é f₀ = 1/t₀ = 1/(2,00 × 10⁻⁹) = 5,00 × 10⁸ Hz. O fator de Lorentz é γ = 1/√(1 − v²/c²). Como v/c = 2,60 × 10⁻⁵, resulta γ ≈ 1 + 3,38 × 10⁻¹⁰. Pela dilatação do tempo, o período medido na Terra é γt₀; portanto, a frequência medida é f = f₀/γ ≈ 4,9999999983 × 10⁸ Hz. A queda absoluta é Δf = f₀ − f ≈ 0,17 Hz.
Raio-X da questão
dilatação do tempo
avaliacao
dilatação do tempo · frequência e período
Revisar os conceitos de frequência e dilatação do tempo na relatividade.
Confundir a relação entre frequência e período, acreditando que são independentes quando na verdade estão interligados.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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