Para 2 = m = 6 e 1 = n < m, usando a fórmula de Euclides a = m²-n², b = 2mn, c = m²+n², conte quantos pares…

Questão

Para 2 = m = 6 e 1 = n < m, usando a fórmula de Euclides a = m²-n², b = 2mn, c = m²+n², conte quantos pares (m,n) geram uma tripla pitagórica primitiva (gcd(m,n)=1 e m,n não ambos ímpares).

1. A) 5 pares (m,n), pois só os ímpares são primitivos.
2. B) 2 pares (m,n), pois muitos geram não primitivos.
3. C) 10 pares (m,n), incluindo valores duplicados.
4. D) 8 pares (m,n)
5. E) 6 pares (m,n) válidos, pois m deve ser sempre maior.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Entendo o enunciado como 2 <= m <= 6 e 1 <= n < m, com (m,n) inteiros. As condições para a tripla ser primitiva são gcd(m,n)=1 e m e n não serem ambos ímpares.
2. Para m=2, os valores possíveis são n=1. Gcd(2,1)=1 e n é ímpar, então (2,1) vale. Total: 1.
3. Para m=3, os valores são n=1 e n=2. O par (3,1) tem ambos ímpares e é excluído. O par (3,2) vale. Total: 1.
4. Para m=4, os valores são n=1, 2 e 3. O par (4,2) tem gcd 2 e é excluído. Os pares (4,1) e (4,3) valem. Total: 2.
5. Para m=5, os valores são n=1, 2, 3 e 4. Os pares (5,1) e (5,3) têm ambos ímpares e são excluídos. Os pares (5,2) e (5,4) valem. Total: 2.
6. Para m=6, os valores são n=1 a 5. Os pares (6,2), (6,3) e (6,4) têm gcd maior que 1 e são excluídos. Os pares (6,1) e (6,5) valem. Total: 2.
7. Somando 1+1+2+2+2 obtemos 8 pares. O gabarito D está correto, e a resolução independente chegou ao mesmo resultado.
8. A alternativa A está errada porque inverte a condição de paridade: a exigência é não serem ambos ímpares, e não ser ímpar. B está errada porque exclui pares válidos sem critério, pois só os pares com gcd maior que 1 e os de ambos ímpares devem sair. C está errada porque não existem pares repetidos a contar, e a lista de pares distintos resulta em 8. E está errada porque a condição n < m não exige que m seja sempre maior que todos os outros valores; ela apenas relaciona m e n.

💡 Dica: Verifique as condições de gcd e paridade para os valores de m e n.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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