Em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa é igual a 2 m e as medidas dos ângulos internos, usando a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa é igual a 2 m e as medidas dos ângulos internos, usando a unidade “grau”, constituem uma progressão aritmética. Se as medidas dos catetos, em metro, são x e y, então, o produto x.y é igual a (UECE 2024)
- A) √2 m².
- B) √3 m².
- C) 2√3 m².
- D) 3√2 m².
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Os três ângulos internos somam 180 graus. Como um deles é o ângulo reto (90 graus), os outros dois somam 90 graus. Seja a PA dos ângulos com razão r e termo central m: os três termos são m - r, m e m + r, e a soma é 3m = 180, logo m = 60 graus. Como 90 é um dos termos, m + r = 90, então r = 30. Os ângulos são 30, 60 e 90 graus.
- Em um triângulo retângulo de hipotenusa 2 com ângulos 30, 60 e 90 graus, o cateto oposto ao ângulo de 30 graus vale metade da hipotenusa, ou seja, 1 m. Pelo teorema de Pitágoras, o outro cateto é raiz de (2^2 - 1^2) = raiz de 3 m. Assim, x e y são 1 e raiz de 3 metros, em alguma ordem.
- O produto dos catetos é x.y = 1 . raiz de 3 = raiz de 3 m². Essa é a alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A (raiz de 2) só seria obtida com catetos que não respeitam Pitágoras; a alternativa C (2 raiz de 3) resulta de multiplicar a hipotenusa pelo cateto maior, o que não corresponde ao produto dos catetos; a alternativa D (3 raiz de 2) não é compatível com uma hipotenusa de 2 m, pois nenhum cateto pode exceder a hipotenusa.
💡 Dica: Use propriedades de triângulo retângulo e progressão aritmética para encontrar os ângulos e aplicar o teorema de Pitágoras.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que o triângulo é isósceles (45, 45 e 90 graus), o que não é a PA dos ângulos, e obtém catetos iguais a raiz de 2 m, registrando apenas um deles como resposta.
CORRETA. O produto dos catetos é 2·sen(30°)·cos(30°) = 2·(1/2)·(√3/2) = √3 m², considerando a hipotenusa de 2 m e os ângulos em progressão aritmética.
O aluno multiplica a hipotenusa (2) pelo cateto maior (raiz de 3), confundindo o produto dos catetos com outra combinação de medidas do triângulo.
O aluno identifica mal a relação entre os ângulos e as razões trigonométricas, trocando seno e cosseno e obtendo catetos com valores incompatíveis com a hipotenusa de 2 m.
Raio-X da questão
triângulo retângulo, progressão aritmética, produto catetos
diagnostico
triângulo retângulo · progressão aritmética
Estude triângulos retângulos, progressão aritmética e teorema de Pitágoras.
Confundir as propriedades dos ângulos em progressão aritmética ou aplicar incorretamente o teorema de Pitágoras.
pensamento_critico
abstrato
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