Matemática9º anoBNCC EF09MA13Média⏱ medio

No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, a altura CH é traçada até a hipotenusa AB, encontrando H. Sabe-se AC…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF09MA13

Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, a altura CH é traçada até a hipotenusa AB, encontrando H. Sabe-se AC = 5 cm e BC = 12 cm. Determine os comprimentos AH e BH.

A) AH = 5 cm e BH = 10 cm
B) AH = 100/13 cm e BH = 200/13 cm
C) AH = 25/13 cm e BH = 144/13 cm
D) AH = 6 cm e BH = 6 cm
E) AH = 4 cm e BH = 3 cm

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Calcule a hipotenusa AB pelo teorema de Pitágoras: AB^2 = AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, logo AB = 13 cm. Passo 2: Use a relação do cateto na hipotenusa: num triângulo retângulo, cada cateto é média proporcional entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela. Assim, AC^2 = AB × AH, ou seja, 25 = 13 × AH, portanto AH = 25/13 cm. Passo 3: Analogamente, BC^2 = AB × BH, ou seja, 144 = 13 × BH, portanto BH = 144/13 cm. Passo 4: Verificação: AH + BH = 25/13 + 144/13 = 169/13 = 13 = AB, o que confirma o resultado. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A) a soma 5 + 10 = 15 não é igual a 13, então não é a hipotenusa; B) a soma 300/13 não coincide com 13; D) a soma 12 não coincide com 13 e supõe divisão igual da hipotenusa; E) a soma 7 não coincide com 13, e os valores 3 e 4 apenas lembram a terna pitagórica 3-4-5, que não é o triângulo dado. Passo 6: Conclusão: a alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Utilize o teorema de Pitágoras para encontrar os comprimentos AH e BH.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceituala que mais engana

Supôs que as projeções são iguais a medidas dos catetos (AH = AC e BH = 2·AC) sem verificar se a soma dá a hipotenusa. A soma 15 cm não corresponde a AB = 13 cm.

Por que engana: Confundir a relação entre os segmentos AH e BH, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras sem considerar a altura.

B Erradaerro: Procedimental

Aplicou uma fórmula com multiplicação ou proporção incorreta, usando um fator comum (20/13) em vez de elevar o cateto ao quadrado e dividir pela hipotenusa. Não conferiu que a soma 300/13 não é 13 cm.

C Correta

Primeiro AB = v(AC²+BC²) = v(25+144) = 13. Pelas relações métricas: AH = AC²/AB = 25/13 e BH = BC²/AB = 144/13 cm.

D Erradaerro: Senso comum

Supôs que a altura divide a hipotenusa ao meio, como faria uma mediana, e não verificou a soma dos segmentos. A soma 12 cm não coincide com AB = 13 cm.

E Erradaerro: Interpretação

Associou o triângulo à terna pitagórica 3-4-5 e atribuiu esses valores aos segmentos, sem usar os catetos 5 e 12 do enunciado. A soma 7 cm não coincide com a hipotenusa.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ situacional🧩 progressao

🎯 Conceito central

triângulo retângulo

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

propriedades do triângulo retângulo · teorema de Pitágoras

📚 Reveja

Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e o teorema de Pitágoras.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a relação entre os segmentos AH e BH, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras sem considerar a altura.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cientifico

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