No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, traça-se a altura CH até a hipotenusa AB, sendo AH o segmento próximo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, traça-se a altura CH até a hipotenusa AB, sendo AH o segmento próximo a A. Se AB = 50 cm e AH = 18 cm, calcule CH.
- A) CH = 32 cm
- B) CH = 24 cm.
- C) CH = 18 cm
- D) CH = 16 cm
- E) CH = 20 cm
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Os dados são AB = 50 cm (hipotenusa), AH = 18 cm e o ângulo C = 90°. Como H está sobre a hipotenusa, HB = AB - AH = 50 - 18 = 32 cm. Passo 2: Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa é média geométrica das projeções dos catetos sobre ela, ou seja, CH^2 = AH × HB. Passo 3: Substituindo, CH^2 = 18 × 32 = 576. Passo 4: Logo, CH = raiz de 576 = 24 cm. Passo 5: Verificação: AC^2 = AB × AH = 50 × 18 = 900, então AC = 30 cm; BC^2 = AB × HB = 50 × 32 = 1600, então BC = 40 cm. Como AC × BC = AB × CH, temos 30 × 40 = 50 × CH, e CH = 24 cm, confirmando a resposta. Passo 6: A alternativa B está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A (32 cm) é o valor de HB, não da altura. A alternativa C (18 cm) apenas repete o segmento AH dado no enunciado. A alternativa D (16 cm) não corresponde ao produto das projeções nem a qualquer relação métrica do triângulo. A alternativa E (20 cm) também não decorre de nenhuma relação métrica correta com os dados.
💡 Dica: Use o teorema da altura relativa à hipotenusa: CH² = AH × HB; primeiro encontre HB.
Alternativa por alternativa
O aluno confundiu a altura CH com o segmento HB (32 cm), que é a outra projeção, ao tomar o maior segmento sem aplicar a relação métrica.
Por que engana: O aluno pode confundir a altura com um dos segmentos da hipotenusa ou usar AB e AH diretamente, sem calcular HB = AB − AH.
HB = AB-AH = 32. Pela relação da altura: CH² = AH·HB = 18·32 = 576 ? CH = v576 = 24 cm.
O aluno supôs que a altura é igual a um dos segmentos dados no enunciado, copiando o valor de AH sem aplicar nenhuma relação entre os segmentos.
O aluno tentou usar a relação métrica, mas errou o cálculo do produto ou da raiz, ou aplicou uma fórmula inadequada, obtendo 16 cm.
O aluno chutou um valor intermediário ou aplicou uma operação aritmética sem base na relação CH^2 = AH × HB, obtendo 20 cm.
Raio-X da questão
Teorema da altura relativa à hipotenusa
avaliacao
Relações métricas no triângulo retângulo · Radiciação e operações com números
Revise as relações métricas no triângulo retângulo e a propriedade CH² = AH × HB.
O aluno pode confundir a altura com um dos segmentos da hipotenusa ou usar AB e AH diretamente, sem calcular HB = AB − AH.
tomada_decisao
abstrato
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