No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, traça-se a altura CH até a hipotenusa AB. Sabendo AC = 15 cm e AH = 9…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, traça-se a altura CH até a hipotenusa AB. Sabendo AC = 15 cm e AH = 9 cm, determine o comprimento de CH.
- A) CH = 12 cm.
- B) CH = 9 cm
- C) CH = 15 cm
- D) CH = 10 cm
- E) CH = 8 cm
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Em um triângulo retângulo, o cateto ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre ela. Aqui, AC é cateto e AH é a projeção de AC sobre a hipotenusa AB, logo AC^2 = AH x AB. Passo 2: Substituindo os dados, 15^2 = 9 x AB, ou seja, 225 = 9 x AB, e portanto AB = 25 cm. Passo 3: Como AB = AH + HB, temos HB = 25 - 9 = 16 cm. Passo 4: Na altura relativa à hipotenusa, CH^2 = AH x HB, pois CH é a média geométrica das projeções dos catetos. Assim, CH^2 = 9 x 16 = 144, e CH = raiz de 144 = 12 cm. Passo 5: Conferindo com Pitágoras no triângulo AHC, CH^2 = AC^2 - AH^2 = 225 - 81 = 144, o que confirma CH = 12 cm. Passo 6: A alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa B está errada porque 9 cm é o valor de AH, não de CH. A alternativa C está errada porque 15 cm é o valor do cateto AC. A alternativa D está errada porque 10 cm não satisfaz CH^2 = 144. A alternativa E está errada porque 8 cm daria CH^2 = 64, incompatível com os dados.
💡 Dica: Utilize a relação entre a altura e os segmentos da hipotenusa.
Alternativa por alternativa
Usa-se semelhança: AC² = AB·AH ? AB = AC²/AH = 225/9 = 25 cm; então HB = AB-AH = 16 cm; CH² = AH·HB = 9·16 =144 ? CH = 12 cm.
O aluno copiou para CH o segmento AH que já aparece no enunciado, sem perceber que são segmentos diferentes. Também pode ter supor que a altura é igual à projeção dada.
O aluno confundiu a altura CH com o cateto AC, que mede 15 cm, achando que a altura seria igual a esse lado.
O aluno aplicou a relação métrica de forma incorreta ou fez um cálculo intermediário errado ao obter HB ou o produto AH x HB, chegando a um valor que não é o quadrado da altura.
Por que engana: Confundir a altura com um dos catetos do triângulo, utilizando valores incorretos para o cálculo.
O aluno errou no cálculo de AB ou de HB, ou usou uma relação métrica trocada, e obteve CH^2 = 64, o que leva a 8 cm.
Raio-X da questão
altura em triângulo retângulo
avaliacao
propriedades do triângulo retângulo · teorema de Pitágoras
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e a relação entre altura e hipotenusa.
Confundir a altura com um dos catetos do triângulo, utilizando valores incorretos para o cálculo.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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