Num triângulo retângulo ABC com C = 90°, traça-se a altura CH sobre a hipotenusa AB. Sabe-se que AC:BC = 3:4 e…

Questão

Num triângulo retângulo ABC com C = 90°, traça-se a altura CH sobre a hipotenusa AB. Sabe-se que AC:BC = 3:4 e que CH = 12 cm. Determine os comprimentos de AC, BC e AB.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Se AC:BC = 3:4, escreva AC = 3k e BC = 4k para k>0. Então AB = 5k (terceira proporcional de 3k e 4k). A altura relativa à hipotenusa satisfaz CH = (AC·BC)/AB = (3k·4k)/(5k) = (12k)/5. Igualando a CH dada: 12k/5 = 12 ? k = 5. Portanto AC = 3k = 15 cm, BC = 4k = 20 cm e AB = 5k = 25 cm. Verificação: CH = (AC·BC)/AB = (15·20)/25 = 300/25 = 12 cm, consistente com o dado.

Explicação

A relação entre os lados do triângulo é estabelecida pela proporção AC:BC = 3:4, permitindo a substituição por 3k e 4k. A fórmula da altura em relação à hipotenusa é utilizada para encontrar o valor de k, que é crucial para determinar os comprimentos dos lados. A verificação final confirma que os valores encontrados satisfazem a condição da altura, garantindo a consistência da solução.

Raio-X da questão

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