Em um triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, a altura CH até a hipotenusa AB determina projeções AH = 4x e HB =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, a altura CH até a hipotenusa AB determina projeções AH = 4x e HB = x. Sabendo AC = 10 cm, determine x e o comprimento AB.
- A) x = 1 cm e AB = 5 cm
- B) x = 3 cm e AB = 15 cm
- C) x = 4 cm e AB = 20 cm
- D) x = v5 cm e AB = 5v5 cm
- E) x = 2 cm e AB = 10 cm
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Na hipotenusa AB, as projeções são AH = 4x e HB = x, então AB = AH + HB = 5x.
- No triângulo retângulo, cada cateto ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa pela sua projeção. Para o cateto AC: AC^2 = AH · AB.
- Substituindo: 10^2 = 4x · 5x, ou seja, 100 = 20x^2, logo x^2 = 5 e x = raiz de 5 cm.
- Então AB = 5x = 5 · raiz de 5 = 5raiz de 5 cm, que é aproximadamente 11,18 cm.
- Verificação: BC^2 = HB · AB = x · 5x = 5x^2 = 25, logo BC = 5 cm. Como AC^2 + BC^2 = 100 + 25 = 125 = AB^2 = (5raiz de 5)^2, a resposta está consistente com o teorema de Pitágoras.
- Por que as outras estão erradas: na A, x = 1 não satisfaz 20x^2 = 100; na B, x = 3 daria AC^2 = 180, e não 100; na C, x = 4 daria AC^2 = 320, e não 100; na E, x = 2 daria AC^2 = 80, e não 100. O gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Utilize o teorema de Pitágoras para resolver.
Alternativa por alternativa
O aluno obteve x = 1 sem usar a relação do cateto, provavelmente porque tomou AB = 5 como sendo o próprio valor de 5x com x = 1, sem testar a relação com AC = 10.
O aluno escolheu x = 3 por tentativa ou estimativa, sem aplicar AC^2 = AH · AB; a relação entre os lados não foi verificada.
O aluno confundiu o coeficiente 4x da projeção AH com o valor de AH, tomando x = 4 diretamente do número que aparece no enunciado.
Por que engana: Confundir as projeções AH e HB, utilizando valores incorretos para calcular o comprimento da hipotenusa AB.
AH+HB = AB = 5x. Pela relação AC² = AB·AH: 10² = (5x)(4x) ?100 = 20x² ?x² =5 ?x=v5. Então AB = 5x = 5v5 cm.
O aluno supôs que a hipotenusa AB é igual ao cateto AC (AB = 10), o que contraria a propriedade de que a hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
propriedades do triângulo retângulo · teorema de Pitágoras
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e o teorema de Pitágoras.
Confundir as projeções AH e HB, utilizando valores incorretos para calcular o comprimento da hipotenusa AB.
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tomada_decisao
cientifico
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