Em um triângulo retângulo ABC com C = 90°, seja CH a altura até a hipotenusa AB, com projeções AH e HB (AH +…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo ABC com C = 90°, seja CH a altura até a hipotenusa AB, com projeções AH e HB (AH + HB = AB). Usando semelhança de triângulos, prove que 1/CH² = 1/AC² + 1/BC².
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Pela semelhança dos triângulos obtidos ao traçar a altura CH tem-se as relações métricas: AC² = AB·AH, BC² = AB·BH e CH² = AH·BH. Tomando recíprocos das duas primeiras: 1/AC² = 1/(AB·AH) e 1/BC² = 1/(AB·BH). Somando-as: 1/AC² + 1/BC² = (BH + AH)/(AB·AH·BH) = AB/(AB·AH·BH) = 1/(AH·BH). Como CH² = AH·BH, segue 1/(AH·BH) = 1/CH². Portanto 1/CH² = 1/AC² + 1/BC², como se queria demonstrar.
Explicação
A demonstração utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os lados do triângulo retângulo e suas projeções na hipotenusa. Ao expressar as relações em termos de recíprocos e somá-las, é possível simplificar a expressão e relacioná-la com a altura, levando à conclusão desejada. Essa abordagem é válida pois fundamenta-se em propriedades geométricas bem definidas, garantindo a veracidade da igualdade proposta.
Raio-X da questão
semelhança de triângulos
avaliacao
semelhança de triângulos · propriedades de triângulos retângulos
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e semelhança de triângulos.
O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo e a altura, aplicando a fórmula errada para a semelhança.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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