Demonstre, usando a semelhança de triângulos obtida ao traçar a altura do vértice do ângulo reto, as três…

Questão

Demonstre, usando a semelhança de triângulos obtida ao traçar a altura do vértice do ângulo reto, as três relações métricas do triângulo retângulo: AC² = AB·AH, BC² = AB·BH e CH² = AH·BH. Apresente todos os passos da demonstração.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere o triângulo retângulo ABC com ?C = 90° e trace a altura CH até a hipotenusa AB, encontrando H. Observe os dois triângulos menores ACH e BCH e o triângulo original ABC. 1) Compare os ângulos: ?A é comum a ACH e ABC; além disso, ?ACH = 90° - ?A e ?ABC = 90° - ?A, logo ?ACH = ?ABC. Portanto ACH ~ ABC (AA). Da similaridade resulta AC/AB = AH/AC, isto é, AC² = AB·AH. 2) Analogamente, ?B é comum a BCH e ABC, e ?BCH = 90° - ?B = ?ACB correspondente, logo BCH ~ ABC. Da similaridade obtém-se BC/AB = BH/BC, ou BC² = AB·BH. 3) Considere agora ACH e BCH: ambos são triângulos retângulos que compartilham o ângulo em H (os ângulos agudos remanescentes são iguais), logo ACH ~ BCH. Da proporção correspondente vem CH/AH = BH/CH, isto é, CH² = AH·BH. Somando AH e BH obtém-se AB = AH + BH, e as igualdades anteriores são exatamente as três relações métricas solicitadas: AC² = AB·AH, BC² = AB·BH e CH² = AH·BH. Isso conclui a demonstração.

Explicação

A demonstração utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os lados do triângulo retângulo e as alturas traçadas, permitindo deduzir as três relações métricas. A comparação dos ângulos e a aplicação do critério AA garantem que as proporções obtidas são válidas. Além disso, a soma das alturas leva à conclusão das relações métricas, completando a lógica da demonstração.

Raio-X da questão

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