Matemática9º anoBNCC EF09MA13Média⏱ medio

No triângulo ABC, a reta DE é paralela a BC com D em AB e E em AC. Sabe-se AE = 18 cm, AC = 30 cm, AD = x+2 e…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF09MA13

Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

No triângulo ABC, a reta DE é paralela a BC com D em AB e E em AC. Sabe-se AE = 18 cm, AC = 30 cm, AD = x+2 e AB = 3x+1. Determine x e o comprimento DB.

A) x = 0 e DB = 6 cm
B) x = 7/4 e DB = 5/2 cm (2,5 cm)
C) x = 5 e DB = 10 cm
D) x = 3 e DB = 3 cm
E) x = 2 e DB = 4 cm

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Como DE é paralela a BC, o triângulo ADE é semelhante ao triângulo ABC (teorema de Tales). Logo, AD/AB = AE/AC. Passo 2: Substituindo os dados, (x+2)/(3x+1) = 18/30 = 3/5. Passo 3: Multiplicando em cruz, 5(x+2) = 3(3x+1), ou seja, 5x+10 = 9x+3, e portanto 4x = 7, o que dá x = 7/4. Passo 4: Calculando AD = 7/4 + 2 = 15/4 e AB = 3(7/4) + 1 = 25/4. Passo 5: Como DB = AB − AD, temos DB = 25/4 − 15/4 = 10/4 = 5/2 = 2,5 cm. Passo 6: Conferindo, a razão AD/AB = (15/4)/(25/4) = 3/5 = AE/AC. Assim, a alternativa B está correta e coincide com o gabarito. Por que as outras estão erradas: A) com x = 0, AD = 2 e AB = 1, o que é impossível, pois AD não pode ser maior que AB; C) com x = 5, AD = 7 e AB = 16, então DB seria 9 cm, e não 10 cm; D) com x = 3, AD = 5 e AB = 10, então DB seria 5 cm, e não 3 cm; E) com x = 2, AD = 4 e AB = 7, então DB seria 3 cm, e não 4 cm.

💡 Dica: Use a semelhança dos triângulos para igualar AE/AC a AD/AB e depois calcule DB = AB - AD.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Atenção

Provavelmente o aluno igualou a razão sem verificar se o resultado faz sentido geométrico, aceitando x = 0 sem checar que AD = 2 ficaria maior que AB = 1. Não percebeu que a medida do segmento menor não pode ser negativa ou maior que o todo.

B Correta

Pela semelhança AD/AB = AE/AC ? (x+2)/(3x+1) = 18/30 = 3/5. Resolva 3(3x+1)=5(x+2) ? 9x+3=5x+10 ? x=7/4. Então DB = AB-AD = (3x+1)-(x+2)=2x-1 = 5/2 cm.

C Erradaerro: Procedimentala que mais engana

O aluno pode ter encontrado x = 5 por erro de cálculo na proporção e depois subtraído mal, obtendo DB = 10 cm quando AB − AD = 16 − 7 = 9 cm. Confundiu a conta do comprimento final com outro valor.

Por que engana: O aluno pode inverter a correspondência entre os segmentos, igualando razões de lados não correspondentes, ou calcular DB sem subtrair AD de AB.

D Erradaerro: Interpretação

O aluno provavelmente tomou o valor de x como sendo o próprio comprimento DB, sem calcular AB − AD. Com x = 3, AD = 5 e AB = 10, então DB = 5 cm, e não 3 cm.

E Erradaerro: Interpretação

O aluno provavelmente confundiu DB com AD, respondendo DB = 4 cm porque x + 2 = 4 quando x = 2. Esqueceu que DB é a parte de AB que falta depois de AD, e não o próprio AD.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura baixo

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

Teorema de Tales em triângulos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

Razões e proporções · Equação do primeiro grau

📚 Reveja

Revise proporcionalidade em triângulos com retas paralelas e a relação entre segmentos correspondentes.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode inverter a correspondência entre os segmentos, igualando razões de lados não correspondentes, ou calcular DB sem subtrair AD de AB.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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