No triângulo ABC traçou-se DE ? BC com D em AB e E em AC. Sabe-se AB = 3x cm, AD = x+2 cm, AC = 2x+1 cm, AE =…

Questão

No triângulo ABC traçou-se DE ? BC com D em AB e E em AC. Sabe-se AB = 3x cm, AD = x+2 cm, AC = 2x+1 cm, AE = 5 cm e BC = 30 cm. Determine o valor de x e a medida de DE.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como DE ? BC, AD/AB = AE/AC. Substituindo: (x+2)/(3x) = 5/(2x+1). Multiplicando: (x+2)(2x+1)=15x ? 2x²+5x+2=15x ? 2x²-10x+2=0 ? x²-5x+1=0. Assim x = (5 ± v21)/2. Testando, x>(AD<AB) exige x = (5+v21)/2. Então DE/BC = AD/AB = (x+2)/(3x). Como BC=30, DE = 30·(x+2)/(3x)=10·(x+2)/x. Com x = (5+v21)/2, nota-se que 2/x = 5-v21, logo (x+2)/x = 6-v21. Portanto DE = 10·(6-v21) = 60 - 10v21 cm (aprox. 14.17 cm).

Explicação

A relação entre os segmentos DE, AD, AB, AE e AC é estabelecida pela semelhança de triângulos, permitindo o uso da proporção para encontrar x. Após resolver a equação quadrática, o valor de x é determinado e, em seguida, a medida de DE é calculada usando a proporção encontrada. A substituição de x na fórmula final fornece o valor numérico de DE, confirmando a consistência das relações geométricas.

Raio-X da questão

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