Na aula, Sofia desenhou um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em C, e traçou a altura CH até a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na aula, Sofia desenhou um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em C, e traçou a altura CH até a hipotenusa AB. Sabendo que AB mede 20 cm, CH mede 8 cm e AH é maior que HB, quais são as medidas de AH e HB?
- A) AH = 4 cm e HB = 16 cm
- B) AH = 12 cm e HB = 8 cm
- C) AH = 18 cm e HB = 2 cm
- D) AH = 16 cm e HB = 4 cm
- E) AH = 10 cm e HB = 10 cm
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Resolvi sem olhar o gabarito. Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa satisfaz a relação métrica CH^2 = AH * HB. Passo 2: Substituindo CH = 8, temos AH * HB = 64. Passo 3: Como a hipotenusa é dividida em dois segmentos, AH + HB = AB = 20. Passo 4: Os números AH e HB são as raízes de t^2 - 20t + 64 = 0. Pela fórmula de Bhaskara, delta = 400 - 256 = 144, raiz de 144 = 12, então t = (20 ± 12) / 2, ou seja, t = 16 ou t = 4. Passo 5: Como AH é maior que HB, temos AH = 16 cm e HB = 4 cm. Passo 6: Conferência: 16 + 4 = 20 e 16 * 4 = 64 = 8^2. Logo a alternativa D está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A inverte os valores e contraria a condição AH maior que HB; B tem soma 20, mas produto 96, que não é igual a 64; C tem soma 20, mas produto 36, que não é igual a 64; E supõe que a altura divide a hipotenusa em partes iguais, o que só ocorre em triângulos isósceles e não é dado no enunciado.
💡 Dica: Utilize a relação entre a altura e os segmentos da hipotenusa.
Alternativa por alternativa
O aluno encontrou corretamente os dois valores 4 e 16, mas atribuiu o maior ao segmento HB, ignorando a condição de que AH deve ser maior que HB.
O aluno garantiu apenas que a soma dos segmentos é 20, sem usar a relação CH^2 = AH * HB; 12 e 8 somam 20, mas o produto 96 não corresponde a 64.
Por que engana: Confundir a relação entre os segmentos AH e HB, aplicando incorretamente a altura CH na divisão da hipotenusa AB.
O aluno usou a soma AH + HB = 20 e escolheu valores cujo produto é 36, possivelmente confundindo CH = 8 com CH = 6 ou aplicando mal a relação métrica.
A altura à hipotenusa satisfaz CH² = AH · HB. Assim, 8² = AH · HB, ou seja, AH · HB = 64. Como AH + HB = 20, os números são 16 e 4. Como AH é maior que HB, AH = 16 cm e HB = 4 cm.
O aluno supôs que a altura divide a hipotenusa ao meio, como ocorre em triângulos isósceles, o que não foi dito no enunciado e não vale para o triângulo retângulo em geral.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
propriedades do triângulo retângulo · teorema de Pitágoras
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e a relação entre altura e segmentos.
Confundir a relação entre os segmentos AH e HB, aplicando incorretamente a altura CH na divisão da hipotenusa AB.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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