No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, a altura CH até a hipotenusa AB mede CH = 6 cm e a projeção AH = 4…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, a altura CH até a hipotenusa AB mede CH = 6 cm e a projeção AH = 4 cm. Determine o comprimento do segmento HB.
- A) HB = 9 cm
- B) HB = 4 cm
- C) HB = 10 cm
- D) HB = 12 cm
- E) HB = 8 cm
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. O triângulo ABC é retângulo em C, CH é a altura relativa à hipotenusa AB, CH = 6 cm e a projeção AH = 4 cm. Queremos HB, a outra projeção.
- Use a relação métrica do triângulo retângulo que liga a altura às projeções: o quadrado da altura é igual ao produto das projeções, ou seja, CH^2 = AH · HB.
- Substitua os valores: 6^2 = 4 · HB, isto é, 36 = 4 · HB.
- Isole HB: HB = 36 / 4 = 9 cm.
- Confira pelo Teorema de Pitágoras. A hipotenusa é AB = AH + HB = 4 + 9 = 13 cm. Então AC^2 = AH · AB = 4 · 13 = 52 e BC^2 = HB · AB = 9 · 13 = 117. Como 52 + 117 = 169 = 13^2 = AB^2, o resultado está consistente.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa B (4 cm) repete a medida de AH, que é dada no enunciado. A alternativa C (10 cm) corresponde a somar CH com AH, o que não tem base na relação métrica. A alternativa D (12 cm) não satisfaz CH^2 = AH · HB, pois 4 · 12 = 48 é diferente de 36. A alternativa E (8 cm) não satisfaz a relação, pois 4 · 8 = 32 é diferente de 36.
- Conclusão: HB = 9 cm, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a relação entre altura e projeção em triângulos retângulos.
Alternativa por alternativa
Na altura ao vértice do ângulo reto vale CH² = AH·HB. Logo HB = CH² / AH = 6² / 4 = 36/4 = 9 cm.
O aluno copiou a projeção AH = 4 cm dada no enunciado, como se HB fosse igual a AH, sem aplicar a relação métrica que conecta a altura às projeções.
O aluno somou a altura com a projeção (6 + 4 = 10), tratando grandezas de natureza diferente como se pudessem ser adicionadas diretamente.
O aluno calculou 36 / 3 ou multiplicou a altura por 2 (2 · 6 = 12), usando uma operação sem relação com CH^2 = AH · HB, provavelmente por não lembrar a fórmula correta.
O aluno dobrou a projeção AH (2 · 4 = 8), supondo que HB seja o dobro de AH, sem verificar a relação entre a altura e as projeções.
Por que engana: Confundir a projeção AH com a medida do segmento HB, somando incorretamente as medidas.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
propriedades do triângulo retângulo · teorema de Pitágoras
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e a relação entre altura e projeção.
Confundir a projeção AH com a medida do segmento HB, somando incorretamente as medidas.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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